Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2025

Un protón y un electrón tienen la misma energía cinética de $7{,}2 \cdot 10^{-16}\ \text{J}$. Calcule razonadamente:

i) La longitud de onda de De Broglie de cada una de ellas. [0,75 puntos]

ii) La diferencia de potencial necesaria para detener cada una de ellas, justificando si el potencial debe aumentar o disminuir en cada caso. [0,75 puntos]

Datos: $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J s}$; $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_{e} = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $m_{p} = 1{,}7 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{i) La longitud de onda de De Broglie de cada una de ellas. [0,75 puntos]}$

La longitud de onda asociada a una partícula es el cociente entre la constante de Planck y su cantidad de movimiento. Como el dato es la energía cinética, conviene relacionar ambas magnitudes:

$E_c=\dfrac{1}{2}m\,v^{2}=\dfrac{p^{2}}{2m} \Rightarrow p=\sqrt{2\,m\,E_c}$

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$

Para el electrón:

$\lambda_e=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-16}}}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}62\cdot 10^{-23}}$

$\lambda_e=1{,}83\cdot 10^{-11}\ \text{m}$

Para el protón:

$\lambda_p=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-16}}}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}56\cdot 10^{-21}}$

$\lambda_p=4{,}24\cdot 10^{-13}\ \text{m}$

Con la misma energía cinética, la longitud de onda del electrón es unas 43 veces mayor que la del protón, porque su masa es unas 1870 veces menor y la longitud de onda va con la inversa de la raíz de la masa.

$\textbf{ii) La diferencia de potencial necesaria para detener cada una de ellas, justificando si el potencial debe aumentar o disminuir en cada caso. [0,75 puntos]}$

Para detener una partícula cargada hay que hacer que el campo eléctrico realice sobre ella un trabajo igual y de signo contrario a su energía cinética.

$W=q\left(V_i-V_f\right)=\Delta E_c=-E_c$

El valor absoluto de la diferencia de potencial es el mismo para las dos, porque tienen la misma energía cinética y cargas del mismo valor absoluto:

$|\Delta V|=\dfrac{E_c}{|q|}=\dfrac{7{,}2\cdot 10^{-16}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}=4500\ \text{V}$

Lo que cambia es el sentido. Para el protón, de carga positiva:

$+1{,}6\cdot 10^{-19}\left(V_i-V_f\right)=-7{,}2\cdot 10^{-16} \Rightarrow V_f-V_i=+4500\ \text{V}$

Para el electrón, de carga negativa:

$-1{,}6\cdot 10^{-19}\left(V_i-V_f\right)=-7{,}2\cdot 10^{-16} \Rightarrow V_f-V_i=-4500\ \text{V}$

Las dos partículas se detienen tras recorrer una diferencia de potencial de 4500 V en valor absoluto, pero el protón necesita que el potencial aumente 4500 V —las cargas positivas se frenan al subir de potencial— y el electrón, que disminuya otros tantos.