Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2025

Por una cuerda tensa se propaga, en el sentido negativo del eje $OX$, una onda armónica transversal de $0{,}1\ \text{m}$ de amplitud, $5\ \text{Hz}$ de frecuencia y una velocidad de propagación de $0{,}5\ \text{m s}^{-1}$. Determine razonadamente:

i) La ecuación de la onda, sabiendo que para $t = 0\ \text{s}$ y $x = 0\ \text{m}$ se encuentra en la posición más alta de su oscilación. [0,75 puntos]

ii) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados $10\ \text{cm}$ para un mismo instante. [0,5 puntos]

iii) La distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que se encuentren en oposición de fase en un mismo instante. [0,25 puntos]

$\textbf{i) La ecuación de la onda, sabiendo que para } \boldsymbol{t = 0\ \text{s}}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 0\ \text{m}}\textbf{ se encuentra en la posición más alta de su oscilación. [0,75 puntos]}$

Calculamos primero los parámetros de la onda a partir de los datos.

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot 5=10\pi\ \text{rad s}^{-1}$

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{0{,}5}{5}=0{,}1\ \text{m} \Rightarrow k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=20\pi\ \text{rad m}^{-1}$

La onda avanza en el sentido negativo del eje $OX$, de modo que los términos en $t$ y en $x$ han de llevar el mismo signo dentro de la fase:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t+k x+\varphi_0)$

Imponemos la condición inicial: en $t=0$ y $x=0$ el punto está en la elongación máxima, $y=A$.

$A\operatorname{sen}\varphi_0=A \Rightarrow \operatorname{sen}\varphi_0=1 \Rightarrow \varphi_0=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

$y(x,t)=0{,}1\operatorname{sen}\left(10\pi t+20\pi x+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{(S.I.)}$

que, usando la relación entre el seno y el coseno, se escribe más brevemente como

$y(x,t)=0{,}1\cos\left(10\pi t+20\pi x\right)\ \text{(S.I.)}$

$\textbf{ii) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm para un mismo instante. [0,5 puntos]}$

Para un mismo instante, la fase solo depende de la posición, así que la diferencia de fase es

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=20\pi\cdot 0{,}1$

$\Delta\varphi=2\pi\ \text{rad}$

Los dos puntos están en fase: 10 cm es exactamente una longitud de onda, y a esa distancia el estado de vibración se repite. Los dos puntos suben y bajan a la vez.

$\textbf{iii) La distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que se encuentren en oposición de fase en un mismo instante. [0,25 puntos]}$

Dos puntos están en oposición de fase cuando su diferencia de fase es $\pi$ radianes, o un múltiplo impar de $\pi$. La distancia mínima corresponde al primer caso.

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=\pi \Rightarrow \Delta x=\dfrac{\pi}{k}=\dfrac{\pi}{20\pi}$

$\Delta x=0{,}05\ \text{m}=\dfrac{\lambda}{2}$

La distancia mínima es de 5 cm, media longitud de onda: cuando uno de los puntos está en la cresta, el otro está en el valle.