Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2025

Dos partículas cargadas se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme con la misma velocidad.

i) Deduzca la expresión del radio de la trayectoria de una de ellas. [0,5 puntos]

ii) Si la masa de la primera es veinte veces mayor y su carga es la mitad de la segunda, encuentre la razón entre los periodos de sus movimientos. Razone sus respuestas. [0,5 puntos]

$\textbf{i) Deduzca la expresión del radio de la trayectoria de una de ellas. [0,5 puntos]}$

Una carga que entra perpendicularmente a un campo magnético uniforme experimenta la fuerza de Lorentz

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

cuyo módulo, al ser $\vec v$ perpendicular a $\vec B$, vale $F=q\,v\,B$. Esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no realiza trabajo, no cambia el módulo de la velocidad y solo curva la trayectoria: actúa como fuerza centrípeta y el movimiento resultante es circular uniforme.

$q\,v\,B=m\dfrac{v^{2}}{r}$

Despejando el radio:

$r=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

El radio es proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula e inversamente proporcional a su carga y al campo.

$\textbf{ii) Si la masa de la primera es veinte veces mayor y su carga es la mitad de la segunda, encuentre la razón entre los periodos de sus movimientos. Razone sus respuestas. [0,5 puntos]}$

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer una circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{q\,B}=\dfrac{2\pi\,m}{q\,B}$

La velocidad se simplifica: el periodo no depende de lo deprisa que vaya la partícula, solo de su relación masa-carga y del campo. Es el principio en que se basa el ciclotrón.

Con los datos del enunciado, $m_1=20\,m_2$ y $q_1=\dfrac{q_2}{2}$, y el mismo campo:

$\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{\dfrac{2\pi m_1}{q_1 B}}{\dfrac{2\pi m_2}{q_2 B}}=\dfrac{m_1}{m_2}\cdot\dfrac{q_2}{q_1}=20\cdot 2$

$\dfrac{T_1}{T_2}=40$

El periodo de la primera partícula es cuarenta veces mayor que el de la segunda: los dos efectos, el de la masa y el de la carga, van en el mismo sentido y se multiplican.