Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

En los años 60 del siglo pasado, un satélite solía orbitar a $1{,}6 \cdot 10^{4}\ \text{km}$ sobre la superficie de la Tierra. Calcule razonadamente:

i) La energía potencial de un satélite de $1000\ \text{kg}$ en esta órbita. [0,5 puntos]

ii) La velocidad que lleva el satélite en esa órbita. [0,5 puntos]

iii) La energía que tiene el satélite en dicha órbita. [0,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\text{ kg}^{-2}$; $M_{T} = 5{,}98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{T} = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{i) La energía potencial de un satélite de 1000 kg en esta órbita. [0,5 puntos]}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a la altura sobre la superficie.

$r=R_T+h=6{,}37\cdot 10^{6}+1{,}6\cdot 10^{7}=2{,}237\cdot 10^{7}\ \text{m}$

La energía potencial gravitatoria de dos masas, con el origen en el infinito, es

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

$E_p=-\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 1000}{2{,}237\cdot 10^{7}}$

$E_p=-1{,}78\cdot 10^{10}\ \text{J}$

El signo negativo indica que el satélite está ligado a la Tierra: haría falta aportarle esa energía para llevarlo al infinito en reposo.

$\textbf{ii) La velocidad que lleva el satélite en esa órbita. [0,5 puntos]}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que curva la trayectoria.

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\dfrac{v^{2}}{r}$

La masa del satélite se simplifica, lo que explica que todos los satélites de una misma órbita vayan a la misma velocidad.

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{3{,}989\cdot 10^{14}}{2{,}237\cdot 10^{7}}}$

$v=4{,}22\cdot 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$

El satélite recorre su órbita a unos $4{,}22\ \text{km s}^{-1}$.

$\textbf{iii) La energía que tiene el satélite en dicha órbita. [0,5 puntos]}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. La cinética se puede escribir a partir de la condición de órbita del apartado anterior:

$E_c=\dfrac{1}{2}m\,v^{2}=\dfrac{1}{2}\,G\dfrac{M_T\,m}{r}=-\dfrac{E_p}{2}$

$E_m=E_c+E_p=-\dfrac{E_p}{2}+E_p=\dfrac{E_p}{2}=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}$

$E_m=\dfrac{-1{,}78\cdot 10^{10}}{2}=-8{,}92\cdot 10^{9}\ \text{J}$

La energía mecánica del satélite en esa órbita es de $-8{,}92\cdot 10^{9}\ \text{J}$. Que sea negativa es la condición de órbita ligada: mientras la energía mecánica sea menor que cero el satélite no puede escapar del campo gravitatorio terrestre.