Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2025

La masa de un núcleo de plutonio-239 es $239{,}05\ \text{u}$ y su periodo de semidesintegración es $24\,200$ años. Determine:

i) La constante de desintegración. [0,25 puntos]

ii) La actividad de una muestra de $1\ \text{mg}$ de plutonio-239. [0,75 puntos]

iii) El tiempo necesario para que quede el 25 % de los núcleos de la muestra anterior. [0,5 puntos]

Datos: $N_{A} = 6{,}02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

$\textbf{i) La constante de desintegración. [0,25 puntos]}$

La constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración a través de la ley de desintegración radiactiva. Imponiendo que al cabo de $T_{1/2}$ quede la mitad de los núcleos:

$N=N_0\,e^{-\lambda t} \Rightarrow \dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Pasamos el periodo a segundos:

$T_{1/2}=24\,200\cdot 365\cdot 24\cdot 3600=7{,}63\cdot 10^{11}\ \text{s}$

$\lambda=\dfrac{0{,}693}{7{,}63\cdot 10^{11}}$

$\lambda=9{,}08\cdot 10^{-13}\ \text{s}^{-1}$

$\textbf{ii) La actividad de una muestra de 1 mg de plutonio-239. [0,75 puntos]}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo y vale $A=\lambda\,N$, así que hace falta contar los núcleos de la muestra.

$n=\dfrac{m}{M}=\dfrac{10^{-3}}{239{,}05}=4{,}18\cdot 10^{-6}\ \text{mol}$

$N=n\,N_A=4{,}18\cdot 10^{-6}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}=2{,}52\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}$

$A=\lambda\,N=9{,}08\cdot 10^{-13}\cdot 2{,}52\cdot 10^{18}$

$A=2{,}29\cdot 10^{6}\ \text{Bq}$

Un solo miligramo de plutonio-239 sufre más de dos millones de desintegraciones por segundo, y eso que su periodo de semidesintegración es de 24 200 años.

$\textbf{iii) El tiempo necesario para que quede el 25 \% de los núcleos de la muestra anterior. [0,5 puntos]}$

El 25 \% es la mitad de la mitad, así que no hace falta ni recurrir a la exponencial:

$\dfrac{N}{N_0}=0{,}25=\dfrac{1}{2^{2}}$

Cada periodo de semidesintegración reduce el número de núcleos a la mitad, de modo que hacen falta dos periodos.

$t=2\,T_{1/2}=2\cdot 24\,200$

$t=48\,400\ \text{años}$

Se llega a lo mismo con la ley de desintegración: $t=\dfrac{\ln 4}{\lambda}=\dfrac{1{,}386}{9{,}08\cdot 10^{-13}}=1{,}53\cdot 10^{12}\ \text{s}$, que son 48 400 años.