Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un satélite de $1400\ \text{kg}$ en una órbita circular tarda un día y medio en dar la vuelta a la Tierra. Calcule razonadamente:

i) El radio de la órbita. [0,75 puntos]

ii) La velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra. [0,75 puntos]

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\text{ kg}^{-2}$; $M_{T} = 5{,}98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{T} = 6370\ \text{km}$; 1 día $= 24\ \text{h}$.

$\textbf{i) El radio de la órbita. [0,75 puntos]}$

En una órbita circular la atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\omega^{2}\,r$

Sustituimos la velocidad angular por su relación con el periodo, $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$, y despejamos: es la tercera ley de Kepler.

$G\dfrac{M_T}{r^{2}}=\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}\,r \Rightarrow r^{3}=\dfrac{G\,M_T\,T^{2}}{4\pi^{2}}$

El periodo es un día y medio:

$T=1{,}5\cdot 24\cdot 3600=129\,600\ \text{s}$

$r^{3}=\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot\left(129\,600\right)^{2}}{4\pi^{2}}=1{,}697\cdot 10^{23}\ \text{m}^{3}$

$r=\sqrt[3]{1{,}697\cdot 10^{23}}=5{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}$

El radio de la órbita es de $5{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}$, unos 55 400 km medidos desde el centro de la Tierra. Obsérvese que la masa del satélite no interviene.

$\textbf{ii) La velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra. [0,75 puntos]}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, tener energía mecánica nula. Calculamos primero la velocidad de escape desde esa órbita:

$\dfrac{1}{2}m\,v_e^{2}-G\dfrac{M_T\,m}{r}=0 \Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{r}}$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}989\cdot 10^{14}}{5{,}54\cdot 10^{7}}}=3{,}80\cdot 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$

Ahora bien, el satélite no está en reposo: ya lleva la velocidad orbital, que se obtiene de la condición de órbita del apartado anterior.

$v_o=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\dfrac{v_e}{\sqrt{2}}=2{,}68\cdot 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$

Lo que hay que suministrarle es la diferencia entre ambas:

$\Delta v=v_e-v_o=3{,}80\cdot 10^{3}-2{,}68\cdot 10^{3}$

$\Delta v=1{,}12\cdot 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$

Hay que comunicarle un incremento de velocidad de unos $1{,}12\ \text{km s}^{-1}$, con lo que su velocidad total pasaría a ser la de escape, $3{,}80\ \text{km s}^{-1}$. La masa del satélite tampoco interviene aquí.