Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2026

La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación:

$y(x,t) = 0{,}01\,\operatorname{sen}(10\pi x)\cos(200\pi t) \quad \text{(S.I.)}$

i) Indique qué tipo de onda es. [0,25 puntos]

ii) Calcule la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición da lugar a dicha onda. [0,75 puntos]

iii) Determine la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situado en el punto $x = 10\ \text{cm}$. Razone su respuesta. [0,5 puntos]

$\textbf{i) Indique qué tipo de onda es. [0,25 puntos]}$

La ecuación tiene la forma de un producto de una función de la posición por otra del tiempo,

$y(x,t)=A_e(x)\cos(\omega t) \quad \text{con} \quad A_e(x)=0{,}01\operatorname{sen}(10\pi x)$

y no la de $y=A\operatorname{sen}(\omega t\pm k x)$, que es la de una onda viajera. Cada punto oscila con una amplitud propia, $A_e(x)$, que depende solo de dónde esté, de modo que la perturbación no se propaga: hay puntos que no se mueven nunca.

Es una onda estacionaria, la que resulta de superponer dos ondas viajeras idénticas que se propagan en sentidos contrarios, como ocurre en una cuerda de guitarra al reflejarse la onda en los extremos fijos.

$\textbf{ii) Calcule la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición da lugar a dicha onda. [0,75 puntos]}$

Al sumar dos ondas viajeras de amplitud $A$ que avanzan en sentidos opuestos se obtiene

$A\operatorname{sen}(\omega t-kx)+A\operatorname{sen}(\omega t+kx)=2A\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t)$

Comparando con la ecuación del enunciado se identifican los tres parámetros:

$2A=0{,}01 \Rightarrow A=5\cdot 10^{-3}\ \text{m}$

$k=10\pi\ \text{rad m}^{-1}, \qquad \omega=200\pi\ \text{rad s}^{-1}$

La velocidad de propagación de cada una de esas ondas es

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{200\pi}{10\pi}$

$v=20\ \text{m s}^{-1}$

Cada una de las dos ondas que se superponen tiene una amplitud de $5\ \text{mm}$ y se propaga a $20\ \text{m s}^{-1}$, con una longitud de onda $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=0{,}2\ \text{m}$ y una frecuencia $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=100\ \text{Hz}$.

$\textbf{iii) Determine la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situado en el punto } \boldsymbol{x = 10\ \text{cm}}\textbf{. Razone su respuesta. [0,5 puntos]}$

Derivamos la elongación respecto del tiempo, dejando la posición fija:

$v_{\text{osc}}(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-0{,}01\cdot 200\pi\operatorname{sen}(10\pi x)\operatorname{sen}(200\pi t)$

Sustituimos $x=0{,}1\ \text{m}$:

$\operatorname{sen}(10\pi\cdot 0{,}1)=\operatorname{sen}(\pi)=0$

$v_{\text{osc}}(0{,}1\,;\,t)=0\ \text{m s}^{-1}\quad \forall t$



La velocidad de oscilación de ese punto es nula en todo instante porque $x=10\ \text{cm}$ es un nodo de la onda estacionaria: allí la amplitud $A_e(x)$ se anula y el punto permanece siempre en reposo. Los nodos se repiten cada media longitud de onda, es decir, cada 10 cm.