Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrió la erupción del volcán Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de 500 casas resultando que 325 de ellas estaban afectadas por la erupción.

a) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 97 %, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del 64 %? [1,25 puntos]

b) Para un nivel de confianza del 92 % y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del 2 %? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 97 \%, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del 64 \%? [1,25 puntos]}$

La proporción muestral es el cociente entre las casas afectadas y el tamaño de la muestra.

$\hat{p}=\dfrac{325}{500}=0{,}65$

El intervalo de confianza para una proporción es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\,,\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 97 \% se tiene $\alpha=0{,}03$ y $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}015$, luego el valor crítico deja a su izquierda una probabilidad de $0{,}985$:

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$

Calculamos el error máximo admisible:

$E=2{,}17\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}65\cdot 0{,}35}{500}}=2{,}17\cdot 0{,}021331\approx 0{,}0463$

$\left(0{,}65-0{,}0463\,,\ 0{,}65+0{,}0463\right)=(0{,}6037\,;\,0{,}6963)$



Comprobamos si el valor propuesto pertenece al intervalo:

$0{,}6037<0{,}64<0{,}6963$

El intervalo de confianza al 97 \% para la proporción de casas afectadas es $(0{,}6037\,;\,0{,}6963)$. Como 0,64 pertenece a él, sí se puede admitir, con esa confianza, que el porcentaje de casas afectadas por el volcán sea del 64 \%.

$\textbf{b) Para un nivel de confianza del 92 \% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del 2 \%? [1,25 puntos]}$

Para un nivel de confianza del 92 \% se tiene $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}04$, de modo que el valor crítico deja a su izquierda una probabilidad de $0{,}96$:

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$

Imponemos que el error máximo no supere el 2 \%, es decir, $E\le 0{,}02$, manteniendo $\hat{p}=0{,}65$.

$1{,}75\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}65\cdot 0{,}35}{n}}\le 0{,}02$

Elevamos al cuadrado los dos miembros, que son positivos, y despejamos $n$:

$1{,}75^{2}\cdot\dfrac{0{,}2275}{n}\le 0{,}02^{2} \Rightarrow n\ge\dfrac{3{,}0625\cdot 0{,}2275}{0{,}0004}=1741{,}80$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, se toma el primer entero que supera esa cota.

La nueva muestra debe tener como mínimo 1742 casas.