Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

a) Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra? [1 punto]

b) Dada la población $\{9,\ 11,\ 13,\ 18,\ 20\}$, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra? [1 punto]}$

En un muestreo estratificado con afijación proporcional cada estrato aporta a la muestra el mismo porcentaje de sus individuos, es decir, la fracción de muestreo

$f=\dfrac{n}{N}=\dfrac{n_i}{N_i}$

es la misma en los tres estratos. El tamaño de la población es

$N=25+75+50=150$

$f=\dfrac{30}{150}=\dfrac{1}{5}$

Aplicamos esa fracción a cada estrato:

$n_{\text{juvenil}}=\dfrac{1}{5}\cdot 25=5$

$n_{\text{adulto}}=\dfrac{1}{5}\cdot 75=15$

$n_{\text{senior}}=\dfrac{1}{5}\cdot 50=10$

Los tres tamaños suman $5+15+10=30$, que es el tamaño pedido.

La muestra debe estar formada por 5 juveniles, 15 adultos y 10 seniors.

$\textbf{b) Dada la población } \boldsymbol{\{9,\ 11,\ 13,\ 18,\ 20\}}\textbf{, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. [1,5 puntos]}$

En un muestreo aleatorio simple la varianza de la distribución de la media muestral es la varianza de la población dividida entre el tamaño de la muestra:

$\sigma^2_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma^2}{n}$

Calculamos primero la media y la varianza de la población.

$\mu=\dfrac{9+11+13+18+20}{5}=\dfrac{71}{5}=14{,}2$

$\sigma^2=\dfrac{9^2+11^2+13^2+18^2+20^2}{5}-\mu^2=\dfrac{1095}{5}-14{,}2^2$

$\sigma^2=219-201{,}64=17{,}36$

Dividimos entre el tamaño de la muestra, que es $n=2$:

$\sigma^2_{\bar{X}}=\dfrac{17{,}36}{2}=8{,}68$

La varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 es $8{,}68$.