Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Sea la función $f(t) = \dfrac{12t - 24}{t + 3}$; $t \geq 0$.

a) Represente gráficamente la función $f$, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de $f$. [1,5 puntos]

b) Si la función $f$ representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde $t$ indica los años de vida de la empresa:

b-1) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

b-2) A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Represente gráficamente la función } \boldsymbol{f}\textbf{, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Recorremos el guion habitual: cortes, asíntotas, monotonía y curvatura. El dominio es $[0,+\infty)$, porque así lo impone el enunciado, y el único valor que anula el denominador, $t=-3$, queda fuera de él.

Cortes con los ejes:

$f(0)=\dfrac{12\cdot 0-24}{0+3}=\dfrac{-24}{3}=-8 \Rightarrow (0,-8)$

$f(t)=0 \Rightarrow 12t-24=0 \Rightarrow t=2 \Rightarrow (2,0)$

Asíntotas. La recta $t=-3$ sería asíntota vertical de la expresión algebraica, pero no lo es de la función del problema porque $-3$ no pertenece al dominio. Para la horizontal calculamos el límite en el infinito, cociente de dos polinomios del mismo grado:

$\lim_{t\to +\infty}\dfrac{12t-24}{t+3}=\dfrac{12}{1}=12$

La recta $y=12$ es asíntota horizontal.

Monotonía. Derivamos aplicando la regla del cociente:

$f'(t)=\dfrac{12(t+3)-(12t-24)\cdot 1}{(t+3)^{2}} =\dfrac{12t+36-12t+24}{(t+3)^{2}} =\dfrac{60}{(t+3)^{2}}$

El numerador es positivo y el denominador un cuadrado, luego $f'(t)>0$ en todo el dominio: la función es creciente en $[0,+\infty)$ y no tiene extremos relativos.

Curvatura. Derivamos otra vez:

$f''(t)=60\cdot\dfrac{-2(t+3)}{(t+3)^{4}}=\dfrac{-120}{(t+3)^{3}}$

Para $t\ge 0$ el denominador es positivo, así que $f''(t)<0$: la función es cóncava hacia abajo en todo el dominio y no tiene puntos de inflexión.



$\textbf{b-1) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]}$

Hay pérdidas mientras el beneficio es negativo, es decir, mientras $f(t)<0$. Como el denominador es positivo en todo el dominio, el signo lo fija el numerador.

$f(t)<0 \Leftrightarrow 12t-24<0 \Leftrightarrow t<2$

Además la función es creciente, así que una vez que el beneficio se hace positivo ya no vuelve a ser negativo.

La empresa deja de tener pérdidas a partir del segundo año de vida: en $t=2$ el beneficio es nulo y desde ese momento es positivo y creciente.

$\textbf{b-2) A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué? [0,5 puntos]}$

La respuesta la da la asíntota horizontal calculada en el apartado a).

$\lim_{t\to +\infty}f(t)=12$

Como la función es creciente y se acerca a 12 sin alcanzarlo, sus valores nunca llegan a esa cota.

Sí, los beneficios están limitados: por mucho que pase el tiempo no llegan a alcanzar los 12 millones de euros, que es el valor de la asíntota horizontal $y=12$.