Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un artesano decide montar dos tipos de anillos utilizando dos tipos de piedras semipreciosas, una de mayor calidad que otra. Para montar uno de los anillos tarda 20 minutos y utiliza 1 de las piedras de mayor calidad y 2 de las de menor calidad. Para el otro tarda 50 minutos y utiliza 3 piedras de mayor calidad y 1 de menor calidad.

Semanalmente, el artesano dispone de 200 piedras de mayor calidad y 150 de menor calidad. Además, quiere trabajar al menos 1900 minutos a la semana.

Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a 21 €, el segundo a 50 € y que deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor? [2,5 puntos]

$\textbf{Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a 21 €, el segundo a 50 € y que deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor? [2,5 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de anillos del primer tipo e $y$ al del segundo que se montan cada semana. Hacemos una tabla para ordenar la información del enunciado.

$$	$\text{Tiempo (min)}$	$\text{Piedras de mayor calidad}$	$\text{Piedras de menor calidad}$	$\text{Venta (€)}$
Tipo 1 $(x)$	$20x$	$x$	$2x$	$21x$
Tipo 2 $(y)$	$50y$	$3y$	$y$	$50y$
Disponible	$\ge 1900$	$200$	$150$	$$

La función objetivo que deseamos maximizar es el valor de la venta semanal:

$V(x,y)=21x+50y$

Las restricciones del problema son:

Dispone de 200 piedras de mayor calidad $\Rightarrow$ $x+3y\le 200$.

Dispone de 150 piedras de menor calidad $\Rightarrow$ $2x+y\le 150$.

Quiere trabajar al menos 1900 minutos $\Rightarrow$ $20x+50y\ge 1900$, que simplificado dividiendo entre 10 queda $2x+5y\ge 190$.

Deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo $\Rightarrow$ $x\ge 20$.

El número de anillos del segundo tipo no puede ser negativo $\Rightarrow$ $y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+3y\le 200 \\ 2x+y\le 150 \\ 2x+5y\ge 190 \\ x\ge 20 \\ y\ge 0 \end{cases}$

Para representar la región factible dibujamos las rectas que la delimitan y tomamos, en cada caso, el semiplano que contiene al punto $(40,40)$, que cumple las cinco inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: $\begin{cases} x=20 \\ 2x+5y=190 \end{cases} \Rightarrow 40+5y=190 \Rightarrow y=30 \Rightarrow A(20,30)$

Vértice $B$: $\begin{cases} 2x+5y=190 \\ 2x+y=150 \end{cases}$. Restando la segunda de la primera:

$4y=40 \Rightarrow y=10 \Rightarrow 2x+10=150 \Rightarrow x=70 \Rightarrow B(70,10)$

Vértice $C$: $\begin{cases} 2x+y=150 \\ x+3y=200 \end{cases}$. Despejando $y=150-2x$ y sustituyendo:

$x+450-6x=200 \Rightarrow -5x=-250 \Rightarrow x=50 \Rightarrow y=50 \Rightarrow C(50,50)$

Vértice $D$: $\begin{cases} x=20 \\ x+3y=200 \end{cases} \Rightarrow 3y=180 \Rightarrow y=60 \Rightarrow D(20,60)$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del valor máximo:

$A(20,30) \Rightarrow V(20,30)=420+1500=1920$

$B(70,10) \Rightarrow V(70,10)=1470+500=1970$

$C(50,50) \Rightarrow V(50,50)=1050+2500=3550$

$D(20,60) \Rightarrow V(20,60)=420+3000=3420$

El máximo se alcanza en el vértice $C(50,50)$.

El artesano debe montar 50 anillos de cada tipo a la semana, con lo que el valor de la venta asciende a 3550 €.