Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se considera la matriz

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

a) Pruebe que se verifica que $A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left(A^{2} - 4A + 5I_{3}\right)$. [1,5 puntos]

b) Dada la ecuación matricial $X^{t}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, determine la dimensión de $X$ y resuelva la ecuación. [1 punto]

$\textbf{a) Pruebe que se verifica que } \boldsymbol{A^{-1} = \dfrac{1}{2}\left(A^{2} - 4A + 5I_{3}\right)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Se trata de comprobar una igualdad entre dos matrices, así que calculamos por separado los dos miembros y los comparamos. Empezamos por el de la derecha.

$A^{2}=A\cdot A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{2}-4A+5I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

$A^{2}-4A+5I_{3}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(A^{2}-4A+5I_{3}\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Basta ahora comprobar que esa matriz es la inversa de $A$, es decir, que multiplicada por $A$ da la identidad. Antes conviene ver que la inversa existe:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot(2\cdot 1-0\cdot(-1))=2\neq 0$

$A\cdot\dfrac{1}{2}\left(A^{2}-4A+5I_{3}\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{3}$

Como el producto es la matriz identidad y la inversa de una matriz regular es única, queda probado que $A^{-1}=\dfrac{1}{2}\left(A^{2}-4A+5I_{3}\right)$.

$\textbf{b) Dada la ecuación matricial } \boldsymbol{X^{t}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, determine la dimensión de } \boldsymbol{X}\textbf{ y resuelva la ecuación. [1 punto]}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda, y el producto hereda las filas de la primera y las columnas de la segunda. Si $X^{t}$ es de dimensión $m\times n$, el producto $X^{t}A$ exige $n=3$ y resulta de dimensión $m\times 3$, que ha de ser $2\times 3$.

$X^{t}:\ 2\times 3 \Rightarrow X:\ 3\times 2$

Para despejar multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$, que ya conocemos del apartado anterior.

$X^{t}A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot A^{-1} \Rightarrow X^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot A^{-1}$

$X^{t}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Trasponemos para obtener $X$.

$X=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

La matriz $X$ es de dimensión $3\times 2$ y vale $X=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.