Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Los desajustes sobre el horario previsto de llegada de los trenes de alta velocidad, medidos en minutos, sigue una ley Normal con media 0 y desviación típica $2{,}2$.

a) Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto. [0,5 puntos]

b) Elegidos al azar 15 trenes de alta velocidad, los desajustes han sido:

$0, \quad 1{,}3, \quad -2{,}1, \quad -1{,}5, \quad 2, \quad 0{,}8, \quad 5, \quad 2{,}1, \quad -3, \quad 1{,}8, \quad 3{,}1, \quad 4, \quad -0{,}7, \quad 1{,}6, \quad -5{,}4$

b1) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96 %, para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con este nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos? [1,25 puntos]

b2) Con un nivel de confianza del 98 %, ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de $1{,}1$ minutos? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto. [0,5 puntos]}$

Llamamos $X$ al desajuste de un tren, que sigue una ley $N(0\,;\,2{,}2)$. Un desajuste máximo de un minuto, adelanto o retraso, es el suceso $-1\le X\le 1$. Tipificamos los dos extremos.

$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{\pm 1-0}{2{,}2}=\pm 0{,}45$

$P(-1\le X\le 1)=P(-0{,}45\le Z\le 0{,}45)=P(Z\le 0{,}45)-P(Z\le -0{,}45)$

Por la simetría de la campana, $P(Z\le -0{,}45)=1-P(Z\le 0{,}45)$, de modo que

$P(-0{,}45\le Z\le 0{,}45)=2\cdot P(Z\le 0{,}45)-1=2\cdot 0{,}6736-1=0{,}3472$



El 34,72 \% de los trenes de alta velocidad tienen un desajuste máximo de un minuto sobre el horario previsto.

$\textbf{b1) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96 \%, para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con este nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos? [1,25 puntos]}$

Empezamos por la media de los quince desajustes observados, que es el centro del intervalo.

$\bar{x}=\dfrac{0+1{,}3-2{,}1-1{,}5+2+0{,}8+5+2{,}1-3+1{,}8+3{,}1+4-0{,}7+1{,}6-5{,}4}{15}=\dfrac{9}{15}=0{,}6$

Con un nivel de confianza del 96 \% se tiene $\alpha=0{,}04$ y $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}02$, luego el valor crítico deja a su izquierda una probabilidad de $0{,}98$:

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}98 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$

Calculamos el error máximo admisible con $\sigma=2{,}2$ y $n=15$:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}05\cdot\dfrac{2{,}2}{\sqrt{15}}\approx 1{,}16$

$\left(0{,}6-1{,}16\,,\ 0{,}6+1{,}16\right)=(-0{,}56\,;\,1{,}76)$



El valor 2 no pertenece al intervalo, ya que $2>1{,}76$.

El intervalo de confianza al 96 \% para el desajuste medio es $(-0{,}56\,;\,1{,}76)$ minutos y el error máximo cometido es de 1,16 minutos. Con ese nivel de confianza no puede afirmarse que un tren tenga un retraso medio de 2 minutos, porque ese valor queda fuera del intervalo.

$\textbf{b2) Con un nivel de confianza del 98 \%, ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de } \boldsymbol{1{,}1}\textbf{ minutos? [0,75 puntos]}$

La diferencia entre la media poblacional y la media muestral es precisamente el error de la estimación, de modo que se impone $E\le 1{,}1$.

Para un nivel de confianza del 98 \% se tiene $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}01$ y el valor crítico es $z_{\alpha/2}=2{,}33$.

$E=2{,}33\cdot\dfrac{2{,}2}{\sqrt{n}}\le 1{,}1 \Rightarrow \sqrt{n}\ge\dfrac{2{,}33\cdot 2{,}2}{1{,}1}=4{,}66$

$n\ge 4{,}66^2=21{,}72$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, se toma el primer entero que supera esa cota.

Deberían elegirse como mínimo 22 trenes de alta velocidad.