Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El tiempo de estudio semanal de los estudiantes andaluces, medido en horas, se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 5 horas. A partir de una muestra de 81 estudiantes se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media poblacional es $(10{,}794,\ 13{,}206)$, con un nivel de confianza del 97 %.

a) Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes. [0,5 puntos]

b) Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye. [0,5 puntos]

c) Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza. [0,75 puntos]

d) Si la media de la población es de $10{,}2$ horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el 97 % de confianza. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes. [0,5 puntos]}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es simétrico respecto de la media muestral,

$\left(\bar{x}-E\,,\ \bar{x}+E\right)$

de modo que $\bar{x}$ es el punto medio de sus dos extremos.

$\bar{x}=\dfrac{10{,}794+13{,}206}{2}=\dfrac{24}{2}=12$

El tiempo medio de estudio de la muestra es de 12 horas semanales.

$\textbf{b) Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye. [0,5 puntos]}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$2E=2\,z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Al mantener el nivel de confianza, $z_{\alpha/2}$ no cambia, y la desviación típica poblacional $\sigma=5$ tampoco. El tamaño muestral $n$ aparece en el denominador, dentro de una raíz cuadrada.

$n\uparrow \Rightarrow \sqrt{n}\uparrow \Rightarrow \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\downarrow \Rightarrow 2E\downarrow$

Al ampliar el tamaño de la muestra manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo disminuye: con más datos la estimación es más precisa.

$\textbf{c) Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza. [0,75 puntos]}$

Si el tamaño muestral no cambia, el único factor de la amplitud sobre el que se puede actuar es el valor crítico $z_{\alpha/2}$.

$2E=2\,z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Cuanto mayor es el nivel de confianza $1-\alpha$, menor es $\dfrac{\alpha}{2}$ y más a la derecha queda el valor crítico, es decir, mayor es $z_{\alpha/2}$: así se pasa de $1{,}645$ al 90 \% a $1{,}96$ al 95 \% y a $2{,}575$ al 99 \%.

$(1-\alpha)\downarrow \Rightarrow z_{\alpha/2}\downarrow \Rightarrow 2E\downarrow$

Para reducir la amplitud sin tocar el tamaño de la muestra hay que reducir el nivel de confianza. Es el precio que se paga: se gana precisión, pero se está menos seguro de que el intervalo contenga la media poblacional.

$\textbf{d) Si la media de la población es de } \boldsymbol{10{,}2}\textbf{ horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el 97 \% de confianza. [0,75 puntos]}$

El intervalo está centrado en $\bar{x}=12$ y la media poblacional, $\mu=10{,}2$, queda a su izquierda. Que el intervalo la contenga significa que su extremo inferior no la supera:

$\bar{x}-E\le\mu \Rightarrow 12-E\le 10{,}2 \Rightarrow E\ge 1{,}8$

Para un nivel de confianza del 97 \% se tiene $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}015$ y el valor crítico es $z_{\alpha/2}=2{,}17$, el mismo que produce el intervalo del enunciado.

$E=2{,}17\cdot\dfrac{5}{\sqrt{n}}\ge 1{,}8 \Rightarrow \sqrt{n}\le\dfrac{2{,}17\cdot 5}{1{,}8}=6{,}0278$

$n\le 6{,}0278^2=36{,}33$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, se toma el mayor entero que cumple la cota.

El tamaño máximo de la muestra es de 36 estudiantes: con más de 36 el intervalo sería tan estrecho que dejaría fuera la media poblacional.