Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20 % de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.

a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio. [0,75 puntos]

b) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. [0,75 puntos]

c) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas. [0,5 puntos]

d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio. [0,75 puntos]}$

Se seleccionan 20 personas de forma independiente y de cada una solo interesa si contrata el servicio —con probabilidad $0{,}2$— o no lo contrata. La variable $X$, «número de personas que contratan el servicio», sigue una distribución binomial.

$X\sim B(20\,;\,0{,}2)$

Aplicamos la fórmula de la función de probabilidad de la binomial.

$P(X=10)=\binom{20}{10}\cdot 0{,}2^{10}\cdot 0{,}8^{10}$

$P(X=10)=184\,756\cdot 0{,}2^{10}\cdot 0{,}8^{10}\approx 0{,}0020$

La probabilidad de que exactamente 10 de las 20 personas contraten el servicio es de $0{,}0020$, es decir, apenas dos de cada mil.

$\textbf{b) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. [0,75 puntos]}$

«Al menos 2» abarca demasiados casos para sumarlos uno a uno, así que pasamos al suceso contrario, que solo tiene dos: que no contrate ninguna o que contrate exactamente una.

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=\binom{20}{0}\cdot 0{,}2^{0}\cdot 0{,}8^{20}=0{,}8^{20}\approx 0{,}0115$

$P(X=1)=\binom{20}{1}\cdot 0{,}2^{1}\cdot 0{,}8^{19}=20\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^{19}\approx 0{,}0576$

$P(X\ge 2)=1-0{,}0115-0{,}0576=0{,}9309$

La probabilidad de que al menos 2 de las 20 personas contraten el servicio es de $0{,}9309$.

$\textbf{c) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas. [0,5 puntos]}$

El valor esperado de una distribución binomial es el producto del número de repeticiones por la probabilidad de éxito.

$E[X]=n\cdot p=20\cdot 0{,}2=4$

De entre las 20 personas seleccionadas se espera que contraten el servicio 4 personas.

$\textbf{d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13? [0,5 puntos]}$

Ahora el número de personas seleccionadas es la incógnita: la variable sigue siendo binomial de parámetro $p=0{,}2$ y se impone la condición sobre su valor esperado.

$E[X]=n\cdot 0{,}2\ge 13 \Rightarrow n\ge\dfrac{13}{0{,}2}=65$

Se deberían seleccionar al menos 65 personas de entre las que han visto el anuncio.