Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La función que aproxima la cantidad de glucosa en sangre ($\text{mg/dl}$) del paciente, en cada instante $t$ (horas), es:

$f(t) = \begin{cases} \dfrac{5}{6}\left(\dfrac{t^{3}}{3} - 12t^{2} + 108t + 108\right) & \text{si } 0 \leq t \leq 12 \\[2ex] t^{2} - 40t + 546 & \text{si } 12 < t \leq 24 \end{cases}$

a) Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando. [0,75 puntos]

b) ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden? [1 punto]

c) ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene $155\ \text{mg/dl}$? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando. [0,75 puntos]}$

El nivel de glucosa aumenta donde la derivada de $f$ es positiva, así que derivamos cada rama y estudiamos su signo por separado.

$f'(t)=\dfrac{5}{6}\left(t^2-24t+108\right) \quad \text{si } 0<t<12$

$f'(t)=2t-40 \quad \text{si } 12<t<24$

Buscamos los puntos críticos de la primera rama:

$t^2-24t+108=0 \Rightarrow t=\dfrac{24\pm\sqrt{576-432}}{2}=\dfrac{24\pm 12}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=6 \\ t=18 \end{cases}$

La solución $t=18$ se descarta porque no pertenece al intervalo $[0,12]$ en el que actúa esa rama. Los de la segunda rama:

$2t-40=0 \Rightarrow t=20$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo tomando un punto de prueba:

$f'(2)=\dfrac{5}{6}\left(4-48+108\right)>0, \qquad f'(10)=\dfrac{5}{6}\left(100-240+108\right)<0$

$f'(15)=30-40<0, \qquad f'(22)=44-40>0$



El nivel de glucosa aumenta durante las seis primeras horas del día, entre $t=0$ y $t=6$, y vuelve a aumentar desde $t=20$ hasta el final del día, en $t=24$.

$\textbf{b) ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden? [1 punto]}$

Se trata de los extremos absolutos de una función continua en el intervalo cerrado $[0,24]$, de modo que hay que comparar el valor de la función en los puntos donde cambia la monotonía y en los extremos del intervalo.

$f(0)=\dfrac{5}{6}\cdot 108=90$

$f(6)=\dfrac{5}{6}\left(\dfrac{216}{3}-12\cdot 36+108\cdot 6+108\right)=\dfrac{5}{6}\cdot 396=330$

$f(20)=20^2-40\cdot 20+546=400-800+546=146$

$f(24)=24^2-40\cdot 24+546=576-960+546=162$

Comparamos los cuatro valores:

$90<146<162<330$

El nivel más alto de glucosa se alcanza a las 6 horas y es de $330\ \text{mg/dl}$; el más bajo se alcanza a las 20 horas y es de $146\ \text{mg/dl}$.

$\textbf{c) ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene } \boldsymbol{155\ \text{mg/dl}}\textbf{? [0,75 puntos]}$

Después del mediodía actúa la segunda rama, así que igualamos esa expresión a 155.

$t^2-40t+546=155 \Rightarrow t^2-40t+391=0$

$t=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-1564}}{2}=\dfrac{40\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=17 \\ t=23 \end{cases}$

Las dos soluciones pertenecen al intervalo $(12,24]$, así que las dos son válidas: una en el tramo en que la glucosa aún baja y otra en el tramo en que ya ha vuelto a subir.

El paciente tiene $155\ \text{mg/dl}$ de glucosa a las 17 horas y a las 23 horas.