Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El tiempo de adaptación a la guardería, en días, de los menores de dos años andaluces, sigue una distribución Normal de media $10{,}5$ días y desviación típica $1{,}5$ días.

a) Se toma una muestra aleatoria de 25 menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días? [1,25 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Se toma una muestra aleatoria de 25 menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días? [1,25 puntos]}$

Si la población sigue una ley normal $N(\mu\,;\,\sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue también una ley normal, con la misma media y con desviación típica $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{1{,}5}{\sqrt{25}}=\dfrac{1{,}5}{5}=0{,}3$

$\bar{X}\sim N(10{,}5\,;\,0{,}3)$

Para calcular la probabilidad pedida tipificamos el valor 10.

$z=\dfrac{10-10{,}5}{0{,}3}=-1{,}67$

$P(\bar{X}>10)=P(Z>-1{,}67)=P(Z<1{,}67)=0{,}9525$

donde se ha usado la simetría de la campana respecto del origen.



La media muestral sigue una distribución $N(10{,}5\,;\,0{,}3)$ y la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de la muestra supere los 10 días es $0{,}9525$.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días? [1,25 puntos]}$

Trabajamos con la misma distribución del apartado anterior y tipificamos los dos extremos del intervalo.

$z_1=\dfrac{8-10{,}5}{0{,}3}=-8{,}33, \qquad z_2=\dfrac{11-10{,}5}{0{,}3}=1{,}67$

$P(8\le\bar{X}\le 11)=P(-8{,}33\le Z\le 1{,}67)=P(Z\le 1{,}67)-P(Z\le -8{,}33)$

El valor $-8{,}33$ queda tan a la izquierda de la campana que la probabilidad acumulada hasta él es prácticamente nula, y así lo recogen las tablas:

$P(Z\le -8{,}33)\approx 0 \Rightarrow P(8\le\bar{X}\le 11)\approx 0{,}9525$

El 95,25 \% de las muestras de tamaño 25 proporcionan un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días. Que el extremo inferior apenas cuente es razonable: con $n=25$ la media muestral se concentra tanto alrededor de 10,5 días que bajar de 8 días es un suceso prácticamente imposible.