Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del 95 %, la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo $(0{,}5616,\ 0{,}7184)$.

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir. [0,5 puntos]

b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional. [0,5 puntos]

c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada. [1 punto]

d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir. [0,5 puntos]}$

El intervalo de confianza para una proporción es simétrico respecto de la proporción muestral,

$\left(\hat{p}-E\,,\ \hat{p}+E\right)$

de modo que $\hat{p}$ es el punto medio de sus extremos.

$\hat{p}=\dfrac{0{,}5616+0{,}7184}{2}=\dfrac{1{,}28}{2}=0{,}64$

La proporción muestral de estudiantes con carnet de conducir es $0{,}64$, es decir, el 64 \% de la muestra.

$\textbf{b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional. [0,5 puntos]}$

El error máximo admisible es el semiamplitud del intervalo.

$E=\dfrac{0{,}7184-0{,}5616}{2}=\dfrac{0{,}1568}{2}=0{,}0784$

El error máximo cometido en la estimación es de $0{,}0784$.

$\textbf{c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada. [1 punto]}$

El error máximo admisible para una proporción es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}$

Con un nivel de confianza del 95 \% se tiene $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}025$ y el valor crítico es $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Sustituimos los datos de los apartados anteriores:

$0{,}0784=1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}64\cdot 0{,}36}{n}} =1{,}96\cdot\dfrac{0{,}48}{\sqrt{n}}$

Despejamos la raíz del tamaño muestral:

$\sqrt{n}=\dfrac{1{,}96\cdot 0{,}48}{0{,}0784}=\dfrac{0{,}9408}{0{,}0784}=12$

$n=12^2=144$

La muestra seleccionada estaba formada por 144 estudiantes.

$\textbf{d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral. [0,5 puntos]}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$2E=2\,z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}$

El tamaño muestral aparece en el denominador, dentro de una raíz cuadrada, mientras que el valor crítico y la proporción muestral no dependen de él.

$n\uparrow \Rightarrow \sqrt{n}\uparrow \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}\downarrow \Rightarrow 2E\downarrow$

Un aumento del tamaño muestral reduce la amplitud del intervalo: con más estudiantes encuestados la estimación de la proporción es más precisa, y además la mejora es cada vez menor, porque depende de la raíz cuadrada de $n$.