Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Trinidad, una persona ahorradora, deposita 5000 € en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren $t$ años viene dado por la siguiente función:

$f(t) = \begin{cases} 5000 \cdot (1 + 0{,}05t) & \text{si } 0 \leq t \leq 1 \\[2ex] 5000 \cdot 1{,}05^{\,t} & \text{si } t > 1 \end{cases}$

a) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5931,10 €? [0,75 puntos]

b) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año $t_{1}$ y el año $t_{2}$ vienen dados por $I = f(t_{2}) - f(t_{1})$. [0,5 puntos]

c) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$. [0,75 puntos]

d) Estudie la monotonía de la función $f$ y esboce su gráfica. [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5931,10 €? [0,75 puntos]}$

Al final del primer año el capital es $f(1)=5000\cdot(1+0{,}05)=5250$ €, menor que el que se busca, de modo que el instante pedido está en el segundo tramo y hay que resolver la ecuación exponencial.

$5000\cdot 1{,}05^{\,t}=5931{,}10 \Rightarrow 1{,}05^{\,t}=\dfrac{5931{,}10}{5000}=1{,}18622$

Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base:

$t\cdot\ln 1{,}05=\ln 1{,}18622 \Rightarrow t=\dfrac{\ln 1{,}18622}{\ln 1{,}05}=\dfrac{0{,}170771}{0{,}048790}\approx 3{,}5$

Trinidad debe mantener el dinero invertido 3,5 años, es decir, 3 años y 6 meses.

$\textbf{b) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año } \boldsymbol{t_{1}}\textbf{ y el año } \boldsymbol{t_{2}}\textbf{ vienen dados por } \boldsymbol{I = f(t_{2}) - f(t_{1})}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Los dos instantes son mayores que 1, así que en ambos actúa el segundo tramo de la función.

$f(4)=5000\cdot 1{,}05^{4}=5000\cdot 1{,}21550625=6077{,}53$

$f(2)=5000\cdot 1{,}05^{2}=5000\cdot 1{,}1025=5512{,}50$

$I=f(4)-f(2)=6077{,}53-5512{,}50=565{,}03$

Entre el año 2 y el año 4 la inversión genera unos intereses de 565,03 €.

$\textbf{c) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Cada tramo es continuo y derivable en su intervalo —el primero es una función polinómica de primer grado y el segundo una exponencial—, de modo que solo hay que estudiar el punto de empalme $t=1$.

Continuidad en $t=1$:

$\lim_{t\to 1^-}f(t)=5000\cdot(1+0{,}05)=5250, \qquad \lim_{t\to 1^+}f(t)=5000\cdot 1{,}05^{1}=5250$

Los dos límites laterales coinciden con $f(1)=5250$, así que la función es continua en $t=1$ y, por tanto, en todo su dominio.

Derivabilidad en $t=1$: derivamos cada tramo, recordando que la derivada de $a^{t}$ es $a^{t}\ln a$.

$f'(t)= \begin{cases} 250 & \text{si } 0<t<1 \\ 5000\cdot 1{,}05^{\,t}\cdot\ln 1{,}05 & \text{si } t>1 \end{cases}$

$f'(1^-)=250, \qquad f'(1^+)=5000\cdot 1{,}05\cdot\ln 1{,}05=5250\cdot 0{,}048790\approx 256{,}15$

La función es continua en todo su dominio, pero no es derivable en $t=1$, porque las derivadas laterales no coinciden: al pasar del interés simple del primer año al compuesto, el capital crece más deprisa y la gráfica presenta un punto anguloso.

$\textbf{d) Estudie la monotonía de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y esboce su gráfica. [0,5 puntos]}$

La monotonía la decide el signo de la derivada obtenida en el apartado anterior.

$f'(t)=250>0 \quad \text{si } 0<t<1$

$f'(t)=5000\cdot 1{,}05^{\,t}\cdot\ln 1{,}05>0 \quad \text{si } t>1$

En el segundo tramo el signo es positivo porque la exponencial es siempre positiva y $\ln 1{,}05>0$ al ser la base mayor que 1.

La función es creciente en todo su dominio y no tiene extremos relativos: el capital nunca disminuye. El primer tramo es el segmento de recta que va de $(0,5000)$ a $(1,5250)$ y el segundo, la exponencial que arranca de ese mismo punto.