Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 1500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900 y 2400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 15 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 18 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua? [2,5 puntos]

$\textbf{¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua? [2,5 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de lechugas iceberg e $y$ al número de lechugas romanas que se cultivan en un ciclo. Hacemos una tabla para ordenar la información del enunciado.

$$	$\text{Unidades}$	$\text{Agua (L)}$
Iceberg $(x)$	$x$	$15x$
Romana $(y)$	$y$	$18y$
Totales	$x+y$	$15x+18y$

La función objetivo que deseamos minimizar es el consumo total de agua:

$A(x,y)=15x+18y$

Las restricciones del problema son:

La cantidad de iceberg es al menos la mitad de la de romana $\Rightarrow$ $x\ge\dfrac{y}{2}$, es decir, $y\le 2x$.

La cantidad de iceberg no supera las 1500 unidades $\Rightarrow$ $x\le 1500$.

En total se cultivan entre 900 y 2400 lechugas $\Rightarrow$ $900\le x+y\le 2400$.

El número de lechugas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} y\le 2x \\ x\le 1500 \\ x+y\ge 900 \\ x+y\le 2400 \\ x\ge 0;\ y\ge 0 \end{cases}$

Para representar la región factible dibujamos las rectas que la delimitan y tomamos, en cada caso, el semiplano que contiene al punto $(1000,200)$, que cumple las cuatro inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: $\begin{cases} y=0 \\ x+y=900 \end{cases} \Rightarrow A(900,0)$

Vértice $B$: $\begin{cases} y=0 \\ x=1500 \end{cases} \Rightarrow B(1500,0)$

Vértice $C$: $\begin{cases} x=1500 \\ x+y=2400 \end{cases} \Rightarrow y=900 \Rightarrow C(1500,900)$

Vértice $D$: $\begin{cases} y=2x \\ x+y=2400 \end{cases} \Rightarrow 3x=2400 \Rightarrow x=800 \Rightarrow D(800,1600)$

Vértice $E$: $\begin{cases} y=2x \\ x+y=900 \end{cases} \Rightarrow 3x=900 \Rightarrow x=300 \Rightarrow E(300,600)$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del consumo mínimo:

$A(900,0) \Rightarrow A(900,0)=15\cdot 900=13\,500$

$B(1500,0) \Rightarrow A(1500,0)=15\cdot 1500=22\,500$

$C(1500,900) \Rightarrow A(1500,900)=22\,500+16\,200=38\,700$

$D(800,1600) \Rightarrow A(800,1600)=12\,000+28\,800=40\,800$

$E(300,600) \Rightarrow A(300,600)=4\,500+10\,800=15\,300$

El mínimo se alcanza en el vértice $A(900,0)$. Es un resultado coherente: la lechuga iceberg consume menos agua por unidad que la romana y las restricciones no obligan a cultivar ninguna romana, así que el óptimo se queda en el mínimo total exigido de 900 lechugas, todas iceberg.

Deben cultivarse 900 lechugas iceberg y ninguna romana, con lo que el consumo total de agua es de 13 500 litros por ciclo, el mínimo posible.