Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de $2960\ \text{W}$. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de $2990\ \text{W}$. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de $2870\ \text{W}$. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas. [1,75 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ [0,75 puntos]

$\textbf{a) Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas. [1,75 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a la potencia efectiva, en vatios, que genera individualmente una placa del modelo A, del modelo B y del modelo C, respectivamente. Cada prueba aporta una ecuación:

$\begin{cases} 2x+y+3z=2960 \\ x+3y+2z=2990 \\ 3x+2y+z=2870 \end{cases}$

En forma matricial, $M\cdot X=P$, donde

$M=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix} 2960 \\ 2990 \\ 2870 \end{pmatrix}$

Para discutir el sistema calculamos el determinante de la matriz de coeficientes por la regla de Sarrus.

$|M|=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} =(6+6+6)-(27+8+1)=18-36=-18$

$|M|=-18\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|P)=3$

Por el teorema de Rouché-Frobenius, al coincidir los dos rangos con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: sí se puede obtener la potencia de cada modelo, y además de una única forma. La resolvemos por la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} 2960 & 1 & 3 \\ 2990 & 3 & 2 \\ 2870 & 2 & 1 \end{vmatrix}}{-18} =\dfrac{-8100}{-18}=450$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 2960 & 3 \\ 1 & 2990 & 2 \\ 3 & 2870 & 1 \end{vmatrix}}{-18} =\dfrac{-9000}{-18}=500$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2960 \\ 1 & 3 & 2990 \\ 3 & 2 & 2870 \end{vmatrix}}{-18} =\dfrac{-9360}{-18}=520$

Comprobamos la primera prueba: $2\cdot 450+500+3\cdot 520=900+500+1560=2960$.

Una placa del modelo A genera $450\ \text{W}$, una del modelo B $500\ \text{W}$ y una del modelo C $520\ \text{W}$.

$\textbf{b) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}}\textbf{ [0,75 puntos]}$

Calculamos primero el cuadrado de la matriz, que es ella multiplicada por sí misma.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1+0 & 1-1 \\ 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Resulta la matriz identidad de orden 2, que deja invariante a cualquier matriz por la que se multiplique.

$2X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

Despejamos $X$ dividiendo por 2, es decir, multiplicando por el escalar $\dfrac{1}{2}$.

$X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es la matriz columna $X=\begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$.