Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza $225\ \text{km}^{2}$ y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de 49 viajes y obtiene una media de $325\ \text{km}$ recorridos por viaje.

a) Calcule un intervalo de confianza al 97 % para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa. [0,75 puntos]

b) A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio $310\ \text{km}$ por viaje que realizan. [0,5 puntos]

c) ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del 99 % que tuviera una amplitud inferior a $4\ \text{km}$? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule un intervalo de confianza al 97 \% para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa. [0,75 puntos]}$

La población es normal y se conoce su varianza, $\sigma^2=225\ \text{km}^2$, luego $\sigma=15\ \text{km}$. El intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 97 \% se tiene $1-\alpha=0{,}97$, luego $\alpha=0{,}03$ y $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}015$. El valor crítico es el que deja a su izquierda una probabilidad de $1-0{,}015=0{,}985$:

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$

Calculamos el error máximo admisible con $n=49$ y $\bar{x}=325$:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{15}{7}=4{,}65$

$\left(325-4{,}65\,,\ 325+4{,}65\right)=(320{,}35\,;\,329{,}65)$



El intervalo de confianza al 97 \% para la distancia media por viaje es $(320{,}35\,;\,329{,}65)$ kilómetros.

$\textbf{b) A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio } \boldsymbol{310\ \text{km}}\textbf{ por viaje que realizan. [0,5 puntos]}$

Un intervalo de confianza recoge los valores de la media poblacional compatibles con la muestra al nivel de confianza fijado. Basta comprobar si el valor propuesto pertenece a él.

$310<320{,}35$

El valor 310 km queda fuera del intervalo, y además por debajo de su extremo inferior.

Con una confianza del 97 \%, la consultora no puede considerar que los camiones recorran por término medio 310 km por viaje: la muestra apunta a una media claramente mayor.

$\textbf{c) ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del 99 \% que tuviera una amplitud inferior a } \boldsymbol{4\ \text{km}}\textbf{? [0,75 puntos]}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible, de modo que exigir una amplitud menor que 4 km equivale a exigir $E<2$ km.

Para un nivel de confianza del 99 \% se tiene $\dfrac{\alpha}{2}=0{,}005$ y el valor crítico es $z_{\alpha/2}=2{,}575$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<2 \Rightarrow 2{,}575\cdot\dfrac{15}{\sqrt{n}}<2$

Despejamos $\sqrt{n}$, teniendo en cuenta que al ser todos los términos positivos la desigualdad no cambia de sentido:

$\sqrt{n}>\dfrac{2{,}575\cdot 15}{2}=19{,}3125 \Rightarrow n>19{,}3125^2=372{,}97$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, se toma el primer entero que supera esa cota.

La consultora tendría que seleccionar como mínimo 373 viajes.