Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

a) Dada la población $\{-5, -2, 13, 18, 20\}$, se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral. [1 punto]

b) Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral, se sabe que $P(A) = 0{,}75$, $P(B^{c}) = 0{,}8$ y $P(A/B) = 0{,}6$. Calcule las siguientes probabilidades: [1 punto]

$P(A \cap B), \qquad P(B - A), \qquad P(A \cup B), \qquad P(A^{c} - B)$

$\textbf{a) Dada la población } \boldsymbol{\{-5, -2, 13, 18, 20\}}\textbf{, se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral. [1 punto]}$

En un muestreo aleatorio simple la distribución de la media muestral $\bar{X}$ tiene por media la media $\mu$ de la población y por varianza $\dfrac{\sigma^2}{n}$, siendo $\sigma^2$ la varianza de la población y $n$ el tamaño de la muestra. Calculamos primero esos dos parámetros poblacionales.

$\mu=\dfrac{-5-2+13+18+20}{5}=\dfrac{44}{5}=8{,}8$

$\sigma^2=\dfrac{(-5)^2+(-2)^2+13^2+18^2+20^2}{5}-\mu^2 =\dfrac{922}{5}-8{,}8^2$

$\sigma^2=184{,}4-77{,}44=106{,}96$

Con $n=3$, la distribución de la media muestral tiene por parámetros:

$\mu_{\bar{X}}=\mu=8{,}8$

$\sigma^2_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma^2}{n}=\dfrac{106{,}96}{3}\approx 35{,}65$

La distribución de la media muestral tiene media $8{,}8$ y varianza $35{,}65$ aproximadamente.

$\textbf{b) Dados dos sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ de un mismo espacio muestral, se sabe que } \boldsymbol{P(A) = 0{,}75}\textbf{, } \boldsymbol{P(B^{c}) = 0{,}8}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A/B) = 0{,}6}\textbf{. Calcule las siguientes probabilidades: } \boldsymbol{P(A \cap B), \ P(B - A), \ P(A \cup B), \ P(A^{c} - B)}\textbf{. [1 punto]}$

Del suceso contrario se obtiene la probabilidad de $B$:

$P(B)=1-P(B^{c})=1-0{,}8=0{,}2$

De la definición de probabilidad condicionada, $P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, se despeja la intersección:

$P(A\cap B)=P(A/B)\cdot P(B)=0{,}6\cdot 0{,}2=0{,}12$

La diferencia $B-A$ está formada por los sucesos elementales de $B$ que no están en $A$:

$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}2-0{,}12=0{,}08$

Para la unión aplicamos que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$:

$P(A\cup B)=0{,}75+0{,}2-0{,}12=0{,}83$

Por último, $A^{c}-B$ son los sucesos que no están en $A$ ni en $B$, es decir, $A^{c}\cap B^{c}$, que por las leyes de De Morgan es el contrario de la unión:

$P(A^{c}-B)=P\left((A\cup B)^{c}\right)=1-P(A\cup B)=1-0{,}83=0{,}17$

El reparto de la probabilidad entre las cuatro zonas que $A$ y $B$ determinan queda así:



Por tanto, $P(A\cap B)=0{,}12$, $P(B-A)=0{,}08$, $P(A\cup B)=0{,}83$ y $P(A^{c}-B)=0{,}17$.