Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Se considera la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{20} & \text{si } 0 \leq x < 20 \\[2ex] a + bx & \text{si } 20 \leq x < 50 \\[2ex] 36 - \dfrac{x^{2}}{100} & \text{si } 50 \leq x \leq 60 \end{cases}$

siendo $a$ y $b$ números reales.

a) Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua en todo su dominio. [0,75 puntos]

b) Para $a = 26$ y $b = -\dfrac{3}{10}$:

i) Calcule los extremos relativos de $f$. [0,75 puntos]

ii) Represente gráficamente $f$. [0,5 puntos]

iii) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje $OX$ y la gráfica de la función $f$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua en todo su dominio. [0,75 puntos]}$

Cada uno de los tres trozos es una función polinómica, continua en su intervalo, de modo que solo hay que imponer la continuidad en los puntos de empalme $x=20$ y $x=50$: los límites laterales han de coincidir con el valor de la función.

Continuidad en $x=20$:

$\lim_{x\to 20^-}f(x)=\dfrac{20^2}{20}=20, \qquad \lim_{x\to 20^+}f(x)=a+20b$

$a+20b=20$

Continuidad en $x=50$:

$\lim_{x\to 50^-}f(x)=a+50b, \qquad \lim_{x\to 50^+}f(x)=36-\dfrac{50^2}{100}=36-25=11$

$a+50b=11$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$30b=-9 \Rightarrow b=-\dfrac{3}{10} \Rightarrow a=20-20\cdot\left(-\dfrac{3}{10}\right)=26$

La función es continua en todo su dominio cuando $a=26$ y $b=-\dfrac{3}{10}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 26}\textbf{ y } \boldsymbol{b = -\dfrac{3}{10}}\textbf{: i) Calcule los extremos relativos de } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Con esos valores la función queda

$f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2}{20} & \text{si } 0\le x<20 \\[2ex] 26-\dfrac{3x}{10} & \text{si } 20\le x<50 \\[2ex] 36-\dfrac{x^2}{100} & \text{si } 50\le x\le 60 \end{cases}$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo, que es donde se decide la monotonía:

$f'(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{10} & \text{si } 0<x<20 \\[2ex] -\dfrac{3}{10} & \text{si } 20<x<50 \\[2ex] -\dfrac{x}{50} & \text{si } 50<x<60 \end{cases}$

En $(0,20)$ se tiene $f'(x)=\dfrac{x}{10}>0$ y la función crece. En $(20,50)$ la derivada es la constante $-\dfrac{3}{10}<0$ y la función decrece. En $(50,60)$ se tiene $f'(x)=-\dfrac{x}{50}<0$ y la función sigue decreciendo.

La derivada no existe en $x=20$ ni en $x=50$, porque las derivadas laterales no coinciden, pero eso no impide que haya extremo: basta el cambio de monotonía. En $x=20$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=50$ sigue decreciendo, así que solo el primero es un extremo.

$f(20)=\dfrac{20^2}{20}=20$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(20,20)$ y no tiene ningún mínimo relativo.

$\textbf{ii) Represente gráficamente } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El primer trozo es un arco de la parábola $y=\dfrac{x^2}{20}$, que sale del origen y llega al punto $(20,20)$; el segundo es el segmento de la recta $y=26-\dfrac{3x}{10}$ entre $(20,20)$ y $(50,11)$; el tercero es un arco de la parábola $y=36-\dfrac{x^2}{100}$, que baja de $(50,11)$ hasta $(60,0)$.



$\textbf{iii) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{. [1 punto]}$

La función es positiva en todo el intervalo $[0,60]$ y solo se anula en los extremos, de modo que el recinto queda entre la gráfica y el eje $OX$ y su área es la integral definida de $f$ en $[0,60]$. Como la función está definida a trozos, la integral se parte en tres.



$A=\int_{0}^{20}\dfrac{x^2}{20}\,dx +\int_{20}^{50}\left(26-\dfrac{3x}{10}\right)dx +\int_{50}^{60}\left(36-\dfrac{x^2}{100}\right)dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada sumando:

$\int_{0}^{20}\dfrac{x^2}{20}\,dx=\left[\dfrac{x^3}{60}\right]_{0}^{20} =\dfrac{8000}{60}=\dfrac{400}{3}$

$\int_{20}^{50}\left(26-\dfrac{3x}{10}\right)dx=\left[26x-\dfrac{3x^2}{20}\right]_{20}^{50} =(1300-375)-(520-60)=465$

$\int_{50}^{60}\left(36-\dfrac{x^2}{100}\right)dx=\left[36x-\dfrac{x^3}{300}\right]_{50}^{60} =(2160-720)-\left(1800-\dfrac{1250}{3}\right)=\dfrac{170}{3}$

Sumamos los tres resultados:

$A=\dfrac{400}{3}+465+\dfrac{170}{3}=\dfrac{570}{3}+465=190+465=655$

El área del recinto acotado por el eje $OX$ y la gráfica de $f$ es de 655 unidades cuadradas.