Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Halle la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2, e - 2 - 2\ln(2))$ y $(1, 0)$, y verifica que $f''(x) = e^{x-1} - \dfrac{1}{x}$. [2,5 puntos]

$\textbf{Halle la función } \boldsymbol{f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}}\textbf{ que pasa por los puntos } \boldsymbol{(2, e - 2 - 2\ln(2))}\textbf{ y } \boldsymbol{(1, 0)}\textbf{, y verifica que } \boldsymbol{f''(x) = e^{x-1} - \dfrac{1}{x}}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Se conoce la derivada segunda, así que hay que integrar dos veces y usar los dos puntos para fijar las dos constantes que aparecen.

Primera integración:

$f'(x)=\int\left(e^{x-1}-\dfrac{1}{x}\right)dx=e^{x-1}-\ln x+C$

Segunda integración. La integral de $\ln x$ se hace por partes, con $u=\ln x$ y $dv=dx$:

$\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-x$

$f(x)=\int\left(e^{x-1}-\ln x+C\right)dx=e^{x-1}-\left(x\ln x-x\right)+Cx+D$

$f(x)=e^{x-1}-x\ln x+x+Cx+D$

Imponemos que la gráfica pase por $(1,0)$, teniendo en cuenta que $\ln 1=0$:

$f(1)=e^{0}-0+1+C+D=0 \Rightarrow 2+C+D=0 \Rightarrow C+D=-2$

Y que pase por $\left(2,\ e-2-2\ln 2\right)$:

$f(2)=e^{1}-2\ln 2+2+2C+D=e-2-2\ln 2$

$2+2C+D=-2 \Rightarrow 2C+D=-4$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$(2C+D)-(C+D)=-4-(-2) \Rightarrow C=-2 \Rightarrow D=-2-C=0$

Sustituimos y simplificamos:

$f(x)=e^{x-1}-x\ln x+x-2x=e^{x-1}-x\ln x-x$

Comprobamos los dos puntos: $f(1)=1-0-1=0$ y $f(2)=e-2\ln 2-2$.

La función buscada es $f(x)=e^{x-1}-x\ln x-x$.