Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a + \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$.

a) Calcule $a$ para que $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$. [1 punto]

b) Para $a = 0$, calcule los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Estudie y halle los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{y = 1}\textbf{ sea una asíntota horizontal de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1 punto]}$

La recta $y=k$ es asíntota horizontal cuando el límite de la función en el infinito vale $k$. Calculamos ese límite.

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(a+\dfrac{\ln x}{x^{2}}\right) =a+\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{2}}$

El límite que queda es una indeterminación $\dfrac{\infty}{\infty}$; aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{2}} =\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{2x^{2}}=0$

Por tanto $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=a$, e imponiendo que la asíntota sea $y=1$:

$a=1$

La gráfica de $f$ tiene por asíntota horizontal la recta $y=1$ cuando $a=1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, calcule los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{. Estudie y halle los extremos relativos de } \boldsymbol{f}\textbf{ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]}$

Para $a=0$ la función es $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$, definida en $(0,+\infty)$. Derivamos aplicando la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x^{2}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}} =\dfrac{x-2x\ln x}{x^{4}} =\dfrac{x\left(1-2\ln x\right)}{x^{4}}$

$f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^{3}}$

Buscamos los puntos críticos. Como $x>0$, el denominador es positivo y el signo lo fija el numerador.

$1-2\ln x=0 \Rightarrow \ln x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\mathrm{e}^{1/2}=\sqrt{\mathrm{e}}$

Estudiamos el signo de la derivada a un lado y a otro tomando un punto de prueba:

$f'(1)=\dfrac{1-0}{1}=1>0, \qquad f'(\mathrm{e})=\dfrac{1-2}{\mathrm{e}^{3}}<0$



La función crece en $\left(0,\sqrt{\mathrm{e}}\,\right)$ y decrece en $\left(\sqrt{\mathrm{e}},+\infty\right)$. Como pasa de crecer a decrecer, en $x=\sqrt{\mathrm{e}}$ hay un máximo relativo, y no hay ningún mínimo.

$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\,\right)=\dfrac{\ln\sqrt{\mathrm{e}}}{\left(\sqrt{\mathrm{e}}\,\right)^{2}} =\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$

La función crece en $\left(0,\sqrt{\mathrm{e}}\,\right)$ y decrece en $\left(\sqrt{\mathrm{e}},+\infty\right)$, y presenta un máximo relativo en el punto $\left(\sqrt{\mathrm{e}}\,,\ \dfrac{1}{2\mathrm{e}}\right)\approx (1{,}65\,;\,0{,}18)$.