Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sabiendo que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^{x} - x\cos(x) - 1}$ es finito, calcule $a$ y el valor del límite. [2,5 puntos]

$\textbf{Sabiendo que } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^{x} - x\cos(x) - 1}}\textbf{ es finito, calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ y el valor del límite. [2,5 puntos]}$

Al sustituir $x=0$ el numerador vale $0-0+2-2=0$ y el denominador $1-0-1=0$, de modo que hay una indeterminación $\dfrac{0}{0}$ y se puede aplicar la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x-ax+2-2\cos x}{e^{x}-x\cos x-1} =\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-a+2\operatorname{sen}x}{e^{x}-\cos x+x\operatorname{sen}x}$

donde se ha derivado el producto $x\cos x$ como $\cos x-x\operatorname{sen}x$. Al sustituir de nuevo queda

$\dfrac{1-a+0}{1-1+0}=\dfrac{1-a}{0}$

El denominador se anula, así que para que el límite sea finito el numerador tiene que anularse también.

$1-a=0 \Rightarrow a=1$

Con $a=1$ recuperamos la indeterminación $\dfrac{0}{0}$ y aplicamos L'Hôpital por segunda vez.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-1+2\operatorname{sen}x}{e^{x}-\cos x+x\operatorname{sen}x} =\lim_{x\to 0}\dfrac{-\operatorname{sen}x+2\cos x}{e^{x}+\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}x+x\cos x}$

$=\lim_{x\to 0}\dfrac{-\operatorname{sen}x+2\cos x}{e^{x}+2\operatorname{sen}x+x\cos x}$

Ahora sí se puede sustituir directamente:

$\dfrac{-0+2}{1+0+0}=2$

Para $a=1$ el límite es finito y vale $2$.