Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Juan ha gastado 80 € por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razone la respuesta. [1,25 puntos]

b) Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57 €, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcule el precio de cada prenda antes de las rebajas. [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razone la respuesta. [1,25 puntos]}$

Llamamos $x$ al precio del jersey, $y$ al de la camisa y $z$ al del pantalón, los tres en euros. Las dos condiciones del enunciado dan dos ecuaciones:

$\begin{cases} x+y+z=80 \\ x=\dfrac{y+z}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y+z=80 \\ 3x-y-z=0 \end{cases}$

Es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas cuyas filas no son proporcionales, luego $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|B)=2<3$: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Ahora bien, que el sistema tenga infinitas soluciones no impide que alguna incógnita quede fijada. Sumando las dos ecuaciones desaparecen $y$ y $z$ a la vez:

$(x+y+z)+(3x-y-z)=80+0 \Rightarrow 4x=80 \Rightarrow x=20$

Con ese valor, la primera ecuación queda $y+z=60$, que admite infinitas parejas de precios positivos.

Sí es posible determinar de forma única el precio del jersey, que es de 20 €, pero no el de la camisa: con los datos de este apartado solo sabemos que la camisa y el pantalón cuestan juntos 60 €.

$\textbf{b) Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57 €, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 \%, del 40 \% y del 20 \%, respectivamente. Calcule el precio de cada prenda antes de las rebajas. [1,25 puntos]}$

El nuevo dato aporta una tercera ecuación. Con los descuentos, Juan pagaría el 70 \% del jersey, el 60 \% de la camisa y el 80 \% del pantalón:

$0{,}7x+0{,}6y+0{,}8z=57$

Sustituimos el precio del jersey obtenido en el apartado anterior, $x=20$, y usamos $y+z=60$.

$0{,}7\cdot 20+0{,}6y+0{,}8z=57 \Rightarrow 14+0{,}6y+0{,}8z=57 \Rightarrow 0{,}6y+0{,}8z=43$

Despejamos $y=60-z$ y sustituimos:

$0{,}6(60-z)+0{,}8z=43 \Rightarrow 36+0{,}2z=43 \Rightarrow z=35$

$y=60-35=25$

Comprobamos el gasto rebajado: $0{,}7\cdot 20+0{,}6\cdot 25+0{,}8\cdot 35=14+15+28=57$ €.

Antes de las rebajas el jersey costaba 20 €, la camisa 25 € y el pantalón 35 €.