Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de $70\ \text{km/h}$.

a) En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media $64\ \text{km/h}$ y desviación típica $4\ \text{km/h}$. Si el radar de control salta a partir de $72\ \text{km/h}$, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan? [1 punto]

b) En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de $63{,}6\ \text{km/h}$ y que el $5{,}05\ \%$ de todos los vehículos viaja a más de $80\ \text{km/h}$. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica? [1,5 puntos]

$\textbf{a) En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media } \boldsymbol{64\ \text{km/h}}\textbf{ y desviación típica } \boldsymbol{4\ \text{km/h}}\textbf{. Si el radar de control salta a partir de } \boldsymbol{72\ \text{km/h}}\textbf{, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan? [1 punto]}$

Llamamos $X$ a la velocidad de un vehículo, que sigue una ley $N(64\,;\,4)$. Se sanciona a los que superan los 72 km/h, así que hay que calcular $P(X>72)$. Tipificamos ese valor.

$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{72-64}{4}=2$

$P(X>72)=P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



Se sanciona al 2,28 \% de los vehículos que circulan en ese sentido.

$\textbf{b) En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de } \boldsymbol{63{,}6\ \text{km/h}}\textbf{ y que el } \boldsymbol{5{,}05\ \%}\textbf{ de todos los vehículos viaja a más de } \boldsymbol{80\ \text{km/h}}\textbf{. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica? [1,5 puntos]}$

Ahora la incógnita es $\sigma$ y el dato es una probabilidad, así que se recorre el camino inverso: primero se busca en la tabla el valor de $z$ y después se despeja.

$P(X>80)=0{,}0505 \Rightarrow P(X\le 80)=1-0{,}0505=0{,}9495$

$P(Z\le z)=0{,}9495 \Rightarrow z=1{,}64$



Deshacemos la tipificación con la media conocida.

$z=\dfrac{80-63{,}6}{\sigma}=1{,}64 \Rightarrow \sigma=\dfrac{16{,}4}{1{,}64}=10$

La desviación típica de la velocidad en el sentido contrario es de $10\ \text{km/h}$: los vehículos circulan a velocidades bastante más dispersas que en el otro sentido, donde la desviación típica era de solo 4 km/h.