Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean las rectas $r \equiv \dfrac{x+1}{4} = \dfrac{y+2}{3} = \dfrac{z-2}{-1}$ y $s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

b) Halle la ecuación de un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a las rectas $r$ y $s$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

Extraemos de cada ecuación un punto y un vector director.

$r:\ P_{r}(-1,-2,2),\ \vec d_{r}=(4,3,-1) \qquad s:\ P_{s}(1,2,-3),\ \vec d_{s}=(-1,1,-2)$

Los vectores directores no son proporcionales —$\dfrac{4}{-1}\neq\dfrac{3}{1}$—, así que las rectas no son ni paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto de los dos directores con el vector que une los puntos de paso.

$\overrightarrow{P_{r}P_{s}}=(1-(-1),\,2-(-2),\,-3-2)=(2,4,-5)$

$\left[\overrightarrow{P_{r}P_{s}},\vec d_{r},\vec d_{s}\right]= \begin{vmatrix} 2 & 4 & -5 \\ 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$

$=2(-6+1)-4(-8-1)+(-5)(4+3)=-10+36-35=-9$



Como el producto mixto es distinto de cero, los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\textbf{b) Halle la ecuación de un plano que contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{ y a una recta perpendicular a las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Una dirección perpendicular a la vez a $r$ y a $s$ es la del producto vectorial de sus directores.

$\vec w=\vec d_{r}\times\vec d_{s}= \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} =(-6+1)\vec\imath-(-8-1)\vec\jmath+(4+3)\vec k=(-5,9,7)$

El plano buscado contiene a $r$ y a una recta de dirección $\vec w$, de modo que queda determinado por el punto $P_{r}$ y los vectores $\vec d_{r}$ y $\vec w$. Su vector normal es perpendicular a ambos:

$\vec n=\vec d_{r}\times\vec w= \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 4 & 3 & -1 \\ -5 & 9 & 7 \end{vmatrix} =(21+9)\vec\imath-(28-5)\vec\jmath+(36+15)\vec k=(30,-23,51)$

Escribimos la ecuación del plano que pasa por $P_{r}(-1,-2,2)$ con ese vector normal.

$30(x+1)-23(y+2)+51(z-2)=0$

$30x+30-23y-46+51z-102=0$

Comprobamos que $P_{r}$ lo verifica: $-30+46+102-118=0$.

Un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a $r$ y a $s$ es $30x-23y+51z-118=0$.