Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv mx - y - 2z = 5$.

a) Halle $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. [1,5 puntos]

b) Para $m = -8$, calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle } \boldsymbol{m}\textbf{ para que } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi}\textbf{ sean paralelos. [1,5 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos vectores normales y se obtiene con su producto vectorial.

$\vec n_{1}=(1,-1,1), \qquad \vec n_{2}=(1,2,-1)$

$\vec d_{r}=\vec n_{1}\times\vec n_{2}= \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} =(1-2)\vec\imath-(-1-1)\vec\jmath+(2+1)\vec k=(-1,2,3)$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano, es decir, cuando el producto escalar de ambos es nulo.

$\vec n_{\pi}=(m,-1,-2)$

$\vec d_{r}\cdot\vec n_{\pi}=(-1)m+2(-1)+3(-2)=-m-8=0 \Rightarrow m=-8$

Falta comprobar que la recta no está contenida en el plano, en cuyo caso el paralelismo no sería estricto. Buscamos un punto de $r$ haciendo $z=0$ en su sistema:

$\begin{cases} x-y=3 \\ x+2y=4 \end{cases} \Rightarrow 3y=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{3},\ x=\dfrac{10}{3} \Rightarrow A\left(\dfrac{10}{3},\dfrac{1}{3},0\right)$

$-8\cdot\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{3}-2\cdot 0=-\dfrac{81}{3}=-27\neq 5$

El punto no pertenece al plano, luego la recta tampoco.

Para $m=-8$ la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = -8}\textbf{, calcule la distancia de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Al ser paralelos, todos los puntos de la recta equidistan del plano, así que basta calcular la distancia de un punto cualquiera de $r$ —tomamos el $A$ del apartado anterior— al plano.



$\pi\equiv -8x-y-2z-5=0$

$d(r,\pi)=d(A,\pi)=\dfrac{\left|-8\cdot\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{3}-2\cdot 0-5\right|}{\sqrt{(-8)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}$

$d(r,\pi)=\dfrac{\left|-27-5\right|}{\sqrt{64+1+4}}=\dfrac{32}{\sqrt{69}}$

Racionalizamos el denominador.

$d(r,\pi)=\dfrac{32\sqrt{69}}{69}\approx 3{,}85$

La distancia de la recta al plano es $\dfrac{32\sqrt{69}}{69}\approx 3{,}85$ unidades.