Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Calcule el valor de $k$ para que $\displaystyle\int_{1}^{3} e^{x-k}(x - 2)\, dx = 2$. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{ para que } \boldsymbol{\displaystyle\int_{1}^{3} e^{x-k}(x - 2)\, dx = 2}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El factor $e^{-k}$ es constante respecto de la variable de integración, así que sale fuera de la integral.

$\int_{1}^{3}e^{x-k}(x-2)\,dx=e^{-k}\int_{1}^{3}e^{x}(x-2)\,dx$

La integral que queda es de las que se resuelven por partes, tomando el polinomio como $u$ para que al derivarlo desaparezca.

$\begin{cases} u=x-2 & \Rightarrow du=dx \\ dv=e^{x}dx & \Rightarrow v=e^{x} \end{cases}$

$\int e^{x}(x-2)\,dx=(x-2)e^{x}-\int e^{x}\,dx=(x-2)e^{x}-e^{x}=e^{x}(x-3)$

Aplicamos la regla de Barrow entre 1 y 3.

$\int_{1}^{3}e^{x}(x-2)\,dx=\left[e^{x}(x-3)\right]_{1}^{3} =e^{3}\cdot 0-e^{1}\cdot(-2)=2e$

Volvemos a la integral completa e imponemos la condición del enunciado.

$e^{-k}\cdot 2e=2 \Rightarrow 2e^{1-k}=2 \Rightarrow e^{1-k}=1$

La función exponencial vale 1 únicamente cuando el exponente es cero.

$1-k=0 \Rightarrow k=1$

El valor buscado es $k=1$.