Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 2x + 2}$. Calcule una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\textbf{ definida por } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 2x + 2}}\textbf{. Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f}\textbf{ cuya gráfica pase por el punto } \boldsymbol{\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, ya que su discriminante es $4-8=-4<0$. En ese caso la integral se reduce a un arco tangente completando cuadrados.

$x^{2}+2x+2=\left(x^{2}+2x+1\right)+1=(x+1)^{2}+1$

$\int\dfrac{dx}{x^{2}+2x+2}=\int\dfrac{dx}{(x+1)^{2}+1}$

Hacemos el cambio $u=x+1$, de donde $du=dx$, y aparece la integral inmediata del arco tangente.

$\int\dfrac{du}{u^{2}+1}=\operatorname{arctg}(u)+C$

Deshaciendo el cambio, la familia de primitivas es

$F(x)=\operatorname{arctg}(x+1)+C$

Imponemos ahora que la gráfica pase por el punto $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$.

$F(0)=\operatorname{arctg}(1)+C=\dfrac{\pi}{4}+C=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow C=0$

La primitiva pedida es $F(x)=\operatorname{arctg}(x+1)$.