Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema $\begin{cases} 3x - y \phantom{{}+{}(3-a)z} = a^{2} \\ \phantom{3x +{}} (1-a)y + 2z = 0 \\ \phantom{3x +{}} 4y + (3-a)z = a - 5 \end{cases}$

a) Discútalo según los valores de $a$. [1,75 puntos]

b) Para $a = 0$ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discútalo según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada del sistema.

$M=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1-a & 2 \\ 0 & 4 & 3-a \end{pmatrix}, \qquad M|B=\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & a^{2} \\ 0 & 1-a & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 3-a & a-5 \end{array}\right)$

Calculamos el determinante de $M$ desarrollando por la primera columna.

$|M|=3\cdot\begin{vmatrix} 1-a & 2 \\ 4 & 3-a \end{vmatrix} =3\left[(1-a)(3-a)-8\right]$

$|M|=3\left(a^{2}-4a-5\right)=3(a-5)(a+1)$

$|M|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=5 \\ a=-1 \end{cases}$

Discutimos los tres casos por el teorema de Rouché-Frobenius.

Si $a\neq 5$ y $a\neq -1$, entonces $|M|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|B)=3$, que es el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Si $a=5$, las matrices quedan

$M|B=\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & 25 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -2 & 0 \end{array}\right)$

La tercera fila es la segunda cambiada de signo, término independiente incluido, luego se puede suprimir. Queda el menor

$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & -4 \end{vmatrix}=-12\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|B)=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Si $a=-1$, las matrices quedan

$M|B=\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & -6 \end{array}\right)$

Ahora la tercera fila de coeficientes es el doble de la segunda, así que $\operatorname{rg}(M)=2$, pero los términos independientes no guardan esa proporción ($-6\neq 2\cdot 0$). Orlando con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 \end{vmatrix} =3(2\cdot(-6)-0\cdot 4)=-36\neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(M|B)=3$

Al ser $\operatorname{rg}(M)=2\neq 3=\operatorname{rg}(M|B)$, el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\neq 5$ y $a\neq -1$, compatible indeterminado si $a=5$ e incompatible si $a=-1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]}$

Para $a=0$ estamos en el primer caso de la discusión, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases} 3x-y=0 \\ y+2z=0 \\ 4y+3z=-5 \end{cases}$

Despejamos $y=-2z$ en la segunda ecuación y sustituimos en la tercera.

$4(-2z)+3z=-5 \Rightarrow -5z=-5 \Rightarrow z=1$

$y=-2\cdot 1=-2 \Rightarrow 3x=y=-2 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}$

La solución del sistema para $a=0$ es $x=-\dfrac{2}{3}$, $y=-2$, $z=1$.