Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide $8$ metros, halle las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz. [2,5 puntos]

$\textbf{Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide } \boldsymbol{8}\textbf{ metros, halle las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz. [2,5 puntos]}$

La luz que entra es proporcional al área de la ventana, así que hay que maximizar esa área. Llamamos $x$ a la base del rectángulo —que es a la vez el diámetro del semicírculo— e $y$ a su altura, los dos en metros.










El perímetro lo forman la base, los dos lados verticales y la semicircunferencia de radio $\dfrac{x}{2}$, cuya longitud es $\pi\dfrac{x}{2}$. Obsérvese que el segmento superior del rectángulo no es borde de la ventana.

$x+2y+\dfrac{\pi x}{2}=8$

El área es la del rectángulo más la del semicírculo.

$A=xy+\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}=xy+\dfrac{\pi x^{2}}{8}$





Despejamos $y$ en la condición del perímetro para dejar el área en función de una sola variable.

$y=\dfrac{8-x-\dfrac{\pi x}{2}}{2}=4-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi x}{4}$

$A(x)=x\left(4-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi x}{4}\right)+\dfrac{\pi x^{2}}{8} =4x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{\pi x^{2}}{4}+\dfrac{\pi x^{2}}{8}$

$A(x)=4x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{\pi x^{2}}{8}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar el candidato a máximo.

$A'(x)=4-x-\dfrac{\pi x}{4}=0 \Rightarrow x\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right)=4 \Rightarrow x\,\dfrac{4+\pi}{4}=4$

$x=\dfrac{16}{4+\pi}\approx 2{,}24\ \text{m}$

Comprobamos con la segunda derivada que ese valor da un máximo.

$A''(x)=-1-\dfrac{\pi}{4}<0$

Al ser la segunda derivada negativa para todo $x$, el punto crítico es un máximo. Calculamos ahora la altura.

$y=4-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi x}{4}=4-x\,\dfrac{2+\pi}{4} =4-\dfrac{16}{4+\pi}\cdot\dfrac{2+\pi}{4} =\dfrac{4(4+\pi)-4(2+\pi)}{4+\pi}$

$y=\dfrac{8}{4+\pi}\approx 1{,}12\ \text{m}$

Merece la pena observar que $y=\dfrac{x}{2}$: la altura del rectángulo coincide con el radio del semicírculo.

La ventana que deja pasar más luz tiene una base de $\dfrac{16}{4+\pi}\approx 2{,}24$ metros y una altura de rectángulo de $\dfrac{8}{4+\pi}\approx 1{,}12$ metros, con lo que su área es de $\dfrac{32}{4+\pi}\approx 4{,}48\ \text{m}^{2}$.