Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2020

El módulo espacial de la figura tiene longitud propia de $L_{p} = 4\ \text{m}$ y se mueve en una dirección a lo largo de su longitud con una velocidad $v$ relativa a la base de control situada en la Tierra. Respecto a dicha base, se mide la longitud del módulo espacial y su resultado es 3,656 m.



a) ¿Cuál es la velocidad $v$ con la que se mueve el módulo espacial?

b) En un cierto instante, los tripulantes del módulo interrumpen la conexión con la base control en la Tierra diciendo que se van a dormir una siesta. En la base de control miden que la siesta ha durado 89 min. ¿Cuál ha sido la duración de la siesta medida en el módulo espacial?

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) ¿Cuál es la velocidad } \boldsymbol{v}\textbf{ con la que se mueve el módulo espacial?}$










La longitud propia es la que se mide con el módulo en reposo, y es la que da su ficha técnica. Desde la Tierra, respecto de la cual el módulo se mueve a lo largo de su longitud, esa dimensión aparece CONTRAÍDA:

$L=\dfrac{L_p}{\gamma}\Rightarrow \gamma=\dfrac{L_p}{L}=\dfrac{4}{3{,}656}$

$\gamma=1{,}094$





Se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}\Rightarrow \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-\left(\dfrac{3{,}656}{4}\right)^{2}}$

$\dfrac{v}{c}=\sqrt{1-0{,}835}=0{,}406$

$v=0{,}406\cdot 3\cdot 10^{8}=1{,}22\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

El módulo se mueve a $1{,}22\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, es decir, al 40,6 % de la velocidad de la luz. Sorprende que una contracción de apenas el 9 % exija ya una velocidad tan alta: los efectos relativistas se hacen notar muy tarde.

$\textbf{b) ¿Cuál ha sido la duración de la siesta medida en el módulo espacial?}$

La siesta empieza y acaba en el mismo punto del módulo, de modo que la duración que miden sus tripulantes es el TIEMPO PROPIO. Desde la Tierra el intervalo aparece DILATADO por el mismo factor de Lorentz:

$\Delta t=\gamma\,\Delta t_p\Rightarrow \Delta t_p=\dfrac{\Delta t}{\gamma}=\dfrac{89}{1{,}094}$

$\Delta t_p=81{,}3\ \text{min}$

En el módulo la siesta ha durado $81{,}3$ minutos, unos ocho menos que los 89 que se midieron desde la Tierra. Obsérvese que el mismo factor $\gamma$ actúa en los dos apartados pero en sentidos opuestos: DIVIDE las longitudes y MULTIPLICA los tiempos.