Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2020

El cátodo de una célula fotoeléctrica se ilumina simultáneamente con dos radiaciones de longitudes de onda $\lambda_{1} = 200\ \text{nm}$ y $\lambda_{2} = 650\ \text{nm}$. El trabajo de extracción de ese cátodo es $W_{\text{ext}} = 3{,}4\ \text{eV}$.

a) ¿Cuál de las dos radiaciones produce efecto fotoeléctrico? Razone la respuesta.

b) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos.

Datos: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; constante de Planck $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; masa del electrón $m = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

$\textbf{a) ¿Cuál de las dos radiaciones produce efecto fotoeléctrico? Razone la respuesta.}$










Para que haya efecto fotoeléctrico, la energía de CADA fotón tiene que ser al menos el trabajo de extracción. Se pasa este a julios:

$W_{\text{ext}}=3{,}4\ \text{eV}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}=5{,}44\cdot 10^{-19}\ \text{J}$





Y se calculan las dos energías:

$E_1=h\,\dfrac{c}{\lambda_1}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{200\cdot 10^{-9}}=9{,}95\cdot 10^{-19}\ \text{J}=6{,}22\ \text{eV}$

$E_2=h\,\dfrac{c}{\lambda_2}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{650\cdot 10^{-9}}=3{,}06\cdot 10^{-19}\ \text{J}=1{,}91\ \text{eV}$

Comparando con el trabajo de extracción:

$E_1=6{,}22\ \text{eV}>3{,}4\ \text{eV}\qquad E_2=1{,}91\ \text{eV}<3{,}4\ \text{eV}$

Solo la radiación de $\lambda_1=200\ \text{nm}$ produce efecto fotoeléctrico. La de 650 nm no arranca ningún electrón por intensa que sea: aumentar la intensidad solo aumenta el NÚMERO de fotones, no la energía de cada uno, y el efecto lo decide cada fotón por separado.

$\textbf{b) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos.}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, aplicada a la radiación que sí funciona:

$E_{c,\max}=E_1-W_{\text{ext}}=9{,}95\cdot 10^{-19}-5{,}44\cdot 10^{-19}$

$E_{c,\max}=4{,}51\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

Y de la energía cinética se despeja la velocidad:

$v=\sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 4{,}51\cdot 10^{-19}}{9{,}11\cdot 10^{-31}}}$

$v=9{,}94\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$

La velocidad máxima de los electrones emitidos es de $9{,}94\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$. Es el 0,3 % de la velocidad de la luz, de modo que el tratamiento no relativista está justificado.