Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2020

Un átomo de cesio ionizado positivamente viaja con una velocidad $\vec v = 6\cdot 10^{3}\,\vec\imath\ \text{m/s}$. En un cierto instante entra en una región donde existe un campo magnético uniforme $\vec B = -0{,}5\,\vec k\ \text{T}$. Dentro de esa región, el átomo describe una trayectoria circular de 53,5 mm de radio. Calcule:

a) El valor de la carga eléctrica del ion.

b) El módulo, dirección y sentido del campo eléctrico que es necesario aplicar en esa región para que el ion no se desvíe y describa una trayectoria rectilínea al atravesar esa región.

Dato: masa del átomo de cesio $m = 7{,}13\cdot 10^{-25}\ \text{kg}$

$\textbf{a) El valor de la carga eléctrica del ion.}$

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme:

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow q=\dfrac{m\,v}{R\,B}$

$q=\dfrac{7{,}13\cdot 10^{-25}\cdot 6\cdot 10^{3}}{0{,}0535\cdot 0{,}5}$

$q=1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$

La carga del ion es de $1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$, exactamente la carga elemental: el cesio ha perdido UN solo electrón, como corresponde a un ion $\text{Cs}^{+}$.

$\textbf{b) El módulo, dirección y sentido del campo eléctrico que es necesario aplicar en esa región para que el ion no se desvíe y describa una trayectoria rectilínea al atravesar esa región.}$










Para que el ion no se desvíe, la fuerza total sobre él debe ser nula: es el selector de velocidades.

$q\,\vec E+q\,(\vec v\times\vec B)=\vec 0\Rightarrow \vec E=-(\vec v\times\vec B)$

Obsérvese que la carga se simplifica: el campo necesario no depende de ella.





Se calcula el producto vectorial, recordando que $\vec\imath\times\vec k=-\vec\jmath$:

$\vec v\times\vec B=\left(6\cdot 10^{3}\,\vec\imath\right)\times\left(-0{,}5\,\vec k\right)=-3\cdot 10^{3}\,(\vec\imath\times\vec k)=+3\cdot 10^{3}\,\vec\jmath$

Por tanto:

$\vec E=-3\cdot 10^{3}\,\vec\jmath\ \text{V/m}$

El campo eléctrico ha de valer $3\cdot 10^{3}\ \text{V/m}$, tener la dirección del eje Y y el sentido NEGATIVO. Se comprueba que las dos fuerzas se cancelan: la magnética vale $q\,v\,B=4{,}8\cdot 10^{-16}\ \text{N}$ hacia $+\vec\jmath$ y la eléctrica, el mismo valor hacia $-\vec\jmath$.