Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Dos cargas eléctricas puntuales positivas iguales $q_{1} = q_{2} = q$ están fijas situadas en los dos vértices de la base de un triángulo equilátero de lado $L = 40\ \text{cm}$ como indica la figura. Se sabe que el módulo del campo eléctrico total debido a estas dos cargas en el tercer vértice P del triángulo es de 292,3 N/C. Calcule:



a) El valor de la carga eléctrica $q$.

b) El trabajo que es necesario realizar para transportar otra carga puntual positiva $q_{0} = 5\cdot 10^{-6}\ \text{C}$, desde el punto P hasta el punto A situado en el centro de la base del triángulo, sin variar su energía cinética.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$

$\textbf{a) El valor de la carga eléctrica } \boldsymbol{q}\textbf{.}$










Las dos cargas son iguales y están a la misma distancia $L$ del vértice P, de modo que sus campos tienen el mismo módulo:

$E_1=E_2=k\dfrac{q}{L^{2}}$

y, al ser el triángulo equilátero, forman entre sí un ángulo de $60^\circ$.





Por simetría, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman. La proyección de cada una vale $\cos 30^\circ$:

$E=2\,k\dfrac{q}{L^{2}}\cos 30^\circ=\sqrt3\,\dfrac{k\,q}{L^{2}}$

Igualando al dato del enunciado y despejando la carga:

$q=\dfrac{E\,L^{2}}{\sqrt3\,k}=\dfrac{292{,}3\cdot 0{,}40^{2}}{1{,}732\cdot 9\cdot 10^{9}}$

$q=3{,}0\cdot 10^{-9}\ \text{C}=3\ \text{nC}$

$\textbf{b) El trabajo que es necesario realizar para transportar otra carga puntual positiva } \boldsymbol{q_{0} = 5\cdot 10^{-6}\ \text{C}}\textbf{, desde el punto P hasta el punto A situado en el centro de la base del triángulo, sin variar su energía cinética.}$

Que la energía cinética no varíe significa que el trabajo pedido es exactamente la variación de la energía potencial:

$W_{\text{ext}}=\Delta E_p=q_0\left(V_A-V_P\right)$

Se calculan los dos potenciales. En P, las dos cargas están a distancia $L$:

$V_P=2\,k\dfrac{q}{L}=\dfrac{2\cdot 9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{0{,}40}=135\ \text{V}$

En A, centro de la base, están a distancia $L/2$:

$V_A=2\,k\dfrac{q}{L/2}=\dfrac{2\cdot 9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{0{,}20}=270\ \text{V}$

$W_{\text{ext}}=5\cdot 10^{-6}\left(270-135\right)$

$W_{\text{ext}}=6{,}75\cdot 10^{-4}\ \text{J}$

El trabajo exterior necesario es de $6{,}75\cdot 10^{-4}\ \text{J}$, y es POSITIVO: hay que empujar la carga, porque va desde un punto de potencial bajo a otro de potencial alto, acercándose a las dos cargas positivas que la repelen.