Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Una carga eléctrica puntual positiva $q_{1} = q$ está fija en el origen de coordenadas. Otra carga eléctrica puntual negativa $q_{2} = -2q$ está fija en el eje X en un punto A de coordenada $x = 4\ \text{m}$. Se sabe que en el punto B situado en el eje Y con coordenada $y = 3\ \text{m}$ el potencial eléctrico total debido a ambas cargas es de $-4{,}8\ \text{V}$. Calcule:

a) El valor de la carga $q$.

b) El vector campo eléctrico total en el punto B, expresando su módulo, dirección y sentido.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$

Las posiciones son: $q_1=q$ en el origen, $q_2=-2q$ en $A(4,0)$ y el punto $B(0,3)$. Las distancias a B son, por tanto:

$r_1=3\ \text{m}\qquad r_2=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\ \text{m}$

$\textbf{a) El valor de la carga } \boldsymbol{q}\textbf{.}$

El potencial es un escalar y se suman las dos contribuciones con su signo:

$V_B=k\dfrac{q_1}{r_1}+k\dfrac{q_2}{r_2}=k\,q\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}\right)$

$V_B=k\,q\cdot\dfrac{5-6}{15}=-\dfrac{k\,q}{15}$

Igualando al dato del enunciado:

$-\dfrac{9\cdot 10^{9}\,q}{15}=-4{,}8\Rightarrow q=\dfrac{4{,}8\cdot 15}{9\cdot 10^{9}}$

$q=8\cdot 10^{-9}\ \text{C}=8\ \text{nC}$

$\textbf{b) El vector campo eléctrico total en el punto B, expresando su módulo, dirección y sentido.}$










El campo de $q_1$, que es POSITIVA y está en el origen, se aleja de ella subiendo por el eje Y:

$E_1=k\dfrac{q}{r_1^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 8\cdot 10^{-9}}{9}=8\ \text{N/C}$

$\vec E_1=8\,\vec\jmath\ \text{N/C}$





El campo de $q_2$, que es NEGATIVA y vale $-16\ \text{nC}$, apunta HACIA ella, es decir, de B hacia A, en la dirección del vector unitario $\left(\tfrac45,\,-\tfrac35\right)$ que da el triángulo 3-4-5:

$E_2=k\dfrac{2q}{r_2^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 16\cdot 10^{-9}}{25}=5{,}76\ \text{N/C}$

$\vec E_2=5{,}76\left(\tfrac45,\,-\tfrac35\right)=\left(4{,}61;\,-3{,}46\right)\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E_B=\vec E_1+\vec E_2=\left(4{,}61;\,8-3{,}46\right)=\left(4{,}61;\,4{,}54\right)\ \text{N/C}$

$E_B=\sqrt{4{,}61^{2}+4{,}54^{2}}=6{,}47\ \text{N/C}$

El campo total en B vale $6{,}47\ \text{N/C}$ y está contenido en el plano XY, formando $44{,}6^\circ$ con el semieje X positivo, es decir, apuntando hacia arriba y a la derecha. Obsérvese que el potencial allí era negativo y el campo no apunta hacia la carga negativa: potencial y campo son cosas distintas, y el signo de uno no dice nada sobre la dirección del otro.