Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite de $3\cdot 10^{3}\ \text{kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 200 km sobre la superficie terrestre. Se quiere pasar el satélite a otra órbita circular a una altura de 400 km sobre la superficie terrestre. Calcule la energía necesaria para cambiar al satélite de órbita.

Datos: radio de la Tierra $R_{T} = 6400\ \text{km}$; masa de la Tierra $M_{T} = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$

$\textbf{Calcule la energía necesaria para cambiar al satélite de órbita.}$

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta y de ahí sale una energía mecánica que solo depende del radio:

$E=\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre las dos.



Se calculan los dos radios:

$r_1=6400+200=6600\ \text{km}=6{,}6\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$r_2=6400+400=6800\ \text{km}=6{,}8\cdot 10^{6}\ \text{m}$

Y las dos energías:

$E_1=-\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 3\cdot 10^{3}}{2\cdot 6{,}6\cdot 10^{6}}=-9{,}10\cdot 10^{10}\ \text{J}$

$E_2=-\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 3\cdot 10^{3}}{2\cdot 6{,}8\cdot 10^{6}}=-8{,}83\cdot 10^{10}\ \text{J}$

$\Delta E=E_2-E_1=-8{,}83\cdot 10^{10}+9{,}10\cdot 10^{10}$

$\Delta E=2{,}68\cdot 10^{9}\ \text{J}$

Hay que suministrar al satélite $2{,}68\cdot 10^{9}\ \text{J}$. El resultado es POSITIVO, como tenía que ser: subir de órbita cuesta energía, aunque en la órbita alta el satélite se mueva más despacio. Lo que gana en energía potencial supera con creces lo que pierde en cinética.