Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura 9000 km. Calcule:

a) La velocidad lineal a la que se mueve el satélite.

b) La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre de un cuerpo situado a esa altura.

Datos: radio de la Tierra $R_{T} = 6400\ \text{km}$; masa de la Tierra $M_{T} = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$

$\textbf{a) La velocidad lineal a la que se mueve el satélite.}$










El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6400+9000=15\,400\ \text{km}=1{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}$

Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la única que actúa y hace de fuerza centrípeta.





$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{1{,}54\cdot 10^{7}}}$

$v=5{,}10\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad orbital es de $5{,}10\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, unos 5,1 km/s.

$\textbf{b) La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre de un cuerpo situado a esa altura.}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula en el caso límite. Imponiendo que la energía mecánica sea cero a esa distancia:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^{2}-G\dfrac{M_T\,m}{r}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{r}}$

Comparando con la expresión anterior se ve que las dos velocidades se diferencian solo en un factor $\sqrt2$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v=1{,}414\cdot 5{,}10\cdot 10^{3}$

$v_{\text{esc}}=7{,}21\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape desde esa altura es de $7{,}21\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. La relación $v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v_{\text{orb}}$ se cumple a cualquier distancia y conviene recordarla.