Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2020

El rectángulo de la figura se mueve con una cierta velocidad $v$ respecto a un sistema de referencia OXY que consideramos fijo. El cociente entre el área $A$ que mide un observador fijo OXY y el área $A_{p}$ que mide un observador que viaja junto con el rectángulo es $A/A_{p} = 0{,}6$. Calcule, en función de la velocidad de la luz $c$, la velocidad $v$ con la que se mueve el rectángulo respecto a OXY. En la figura la longitud propia de la base del rectángulo es $a$ y su altura es $b$.

$\textbf{Calcule, en función de la velocidad de la luz } \boldsymbol{c}\textbf{, la velocidad } \boldsymbol{v}\textbf{ con la que se mueve el rectángulo respecto a OXY.}$










La contracción de longitudes solo afecta a la dimensión PARALELA al movimiento. El rectángulo se desplaza a lo largo de su base, de modo que la base se contrae y la altura no cambia:

$a'=\dfrac{a}{\gamma}\qquad b'=b$





El área que mide el observador fijo es, por tanto:

$A=a'\,b'=\dfrac{a\,b}{\gamma}=\dfrac{A_p}{\gamma}$

y el cociente que da el enunciado es directamente el inverso del factor de Lorentz:

$\dfrac{A}{A_p}=\dfrac{1}{\gamma}=0{,}6\Rightarrow \gamma=\dfrac{1}{0{,}6}=1{,}67$

Se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}\Rightarrow \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-0{,}36}$

$\dfrac{v}{c}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$

$v=0{,}8\,c=2{,}4\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

El rectángulo se mueve a $0{,}8\,c$, es decir, a $2{,}4\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. El problema tiene una trampa cómoda: como solo se contrae una de las dos dimensiones, el cociente de áreas coincide con el cociente de longitudes, y el factor de Lorentz sale de un solo paso.