Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2020

La ecuación de una onda armónica es, en unidades del SI:

$y(x,t) = 8\,\text{sen}\left(2\pi\left(\dfrac{x}{50} - \dfrac{t}{0{,}02}\right)\right)$

a) Determine su amplitud, frecuencia, período y longitud de onda.

b) Calcule la velocidad de un punto de la cuerda situado a 150 m del origen en $t = 0{,}04\ \text{s}$.

$\textbf{a) Determine su amplitud, frecuencia, período y longitud de onda.}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica. Desarrollando el paréntesis:

$y(x,t)=8\,\text{sen}\left(\dfrac{2\pi}{50}\,x-\dfrac{2\pi}{0{,}02}\,t\right)$

e identificando términos:

$A=8\ \text{m}\qquad k=\dfrac{2\pi}{50}\ \text{rad/m}\qquad \omega=\dfrac{2\pi}{0{,}02}\ \text{rad/s}$

De donde, leyendo directamente los denominadores:

$\lambda=50\ \text{m}\qquad T=0{,}02\ \text{s}\qquad f=\dfrac{1}{T}=50\ \text{Hz}$



La amplitud es de 8 m, la frecuencia de 50 Hz, el período de 0,02 s y la longitud de onda de 50 m. La velocidad de propagación es $v=\lambda f=2500\ \text{m/s}$, y como los dos términos de la fase llevan signos contrarios, la onda avanza en el sentido POSITIVO del eje X.

$\textbf{b) Calcule la velocidad de un punto de la cuerda situado a 150 m del origen en } \boldsymbol{t = 0{,}04\ \text{s}}\textbf{.}$

Se pide la velocidad TRANSVERSAL de vibración, que se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=8\cdot\left(-\dfrac{2\pi}{0{,}02}\right)\cos\left(2\pi\left(\dfrac{x}{50}-\dfrac{t}{0{,}02}\right)\right)$

$v_y=-800\pi\,\cos\left(2\pi\left(\dfrac{x}{50}-\dfrac{t}{0{,}02}\right)\right)$

Se evalúa el argumento en el punto y el instante pedidos:

$2\pi\left(\dfrac{150}{50}-\dfrac{0{,}04}{0{,}02}\right)=2\pi\left(3-2\right)=2\pi\ \text{rad}$

$\cos(2\pi)=1$

$v_y=-800\pi=-2{,}51\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad transversal de ese punto es de $-2{,}51\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, es decir, se mueve hacia abajo y justo con su rapidez MÁXIMA, $A\,\omega=800\pi\ \text{m/s}$: en ese instante está pasando por la posición de equilibrio.