Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2020

Una carga $q = 1\cdot 10^{-9}\ \text{C}$ y masa $m = 8\cdot 10^{-21}\ \text{kg}$ penetra con una velocidad $v = 2\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$ por el punto P en una región con un campo magnético $\vec B$ perpendicular al papel y hacia adentro (zona de color gris en la figura).



a) ¿Qué intensidad debe tener $\vec B$ para que la carga vuelva a la primera región por un punto Q situado a una distancia de 50 cm de P?

b) Razone si el punto Q estará localizado por encima o por debajo del punto P.

$\textbf{a) ¿Qué intensidad debe tener } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ para que la carga vuelva a la primera región por un punto Q situado a una distancia de 50 cm de P?}$










La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta: dentro de la región la trayectoria es un arco de circunferencia.

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{q\,B}$





La carga entra PERPENDICULARMENTE al borde de la región, así que el centro de la circunferencia cae sobre el propio borde: recorre exactamente media circunferencia y sale por un punto separado un DIÁMETRO del de entrada.

$d=2R\Rightarrow R=\dfrac{0{,}50}{2}=0{,}25\ \text{m}$

Despejando el campo:

$B=\dfrac{m\,v}{q\,R}=\dfrac{8\cdot 10^{-21}\cdot 2\cdot 10^{5}}{10^{-9}\cdot 0{,}25}$

$B=6{,}4\cdot 10^{-6}\ \text{T}$

Hace falta un campo de $6{,}4\cdot 10^{-6}\ \text{T}$, unos 6,4 microteslas.

$\textbf{b) Razone si el punto Q estará localizado por encima o por debajo del punto P.}$

Se decide con el sentido de la fuerza en el instante de entrar. Tomando el eje X en el sentido de la velocidad, el eje Y hacia arriba y el eje Z saliendo del papel:

$\vec v=v\,\vec\imath\qquad \vec B=-B\,\vec k$

$\vec v\times\vec B=v\,\vec\imath\times\left(-B\,\vec k\right)=-v\,B\,(\vec\imath\times\vec k)=+v\,B\,\vec\jmath$

Y como la carga es POSITIVA:

$\vec F=q\,v\,B\,\vec\jmath$

La fuerza apunta hacia arriba, de modo que la carga se curva hacia arriba y el punto Q está POR ENCIMA de P. Si la carga hubiera sido negativa, saldría por debajo.