Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Las cargas $q_{1} = -4\cdot 10^{-9}\ \text{C}$ y $q_{2} = 2\cdot 10^{-9}\ \text{C}$ están colocadas según se representa en la figura. Calcule:



a) El vector campo eléctrico total en el punto P.

b) El trabajo mínimo necesario para trasladar una carga $q_{0} = 1\cdot 10^{-9}\ \text{C}$ desde el infinito hasta el punto P.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{C}^{-2}$

De la figura del enunciado se leen las posiciones: $q_1$ en el origen, $q_2$ sobre el eje X a 1 m y el punto P sobre el eje Y a 1 m. La distancia de $q_2$ a P es, por Pitágoras, $\sqrt2\ \text{m}$.

$\textbf{a) El vector campo eléctrico total en el punto P.}$










El campo de $q_1$, que es NEGATIVA, apunta hacia ella, es decir, hacia abajo por el eje Y:

$E_1=k\dfrac{|q_1|}{1^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-9}}{1}=36\ \text{N/C}$

$\vec E_1=-36\,\vec\jmath\ \text{N/C}$





El campo de $q_2$, que es POSITIVA, se aleja de ella siguiendo la diagonal, en la dirección $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},\,+\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$:

$E_2=k\dfrac{q_2}{\left(\sqrt2\right)^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 2\cdot 10^{-9}}{2}=9\ \text{N/C}$

$\vec E_2=9\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},\,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=\left(-6{,}36;\,+6{,}36\right)\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E=\vec E_1+\vec E_2=\left(-6{,}36;\,-29{,}6\right)\ \text{N/C}$

$E=\sqrt{6{,}36^{2}+29{,}6^{2}}=30{,}3\ \text{N/C}$

El campo total en P vale $30{,}3\ \text{N/C}$ y apunta hacia abajo y ligeramente a la izquierda: domina con mucho el campo de $q_1$, que es el doble de grande y está la mitad de lejos.

$\textbf{b) El trabajo mínimo necesario para trasladar una carga } \boldsymbol{q_{0} = 1\cdot 10^{-9}\ \text{C}}\textbf{ desde el infinito hasta el punto P.}$

El trabajo mínimo que debe realizar un agente exterior es la variación de la energía potencial, llevando la carga sin energía cinética sobrante. Y como en el infinito el potencial es nulo:

$W_{\text{ext}}=q_0\left(V_P-V_{\infty}\right)=q_0\,V_P$

El potencial es un escalar, así que se suman los dos con su signo:

$V_P=k\dfrac{q_1}{1}+k\dfrac{q_2}{\sqrt2}=9\cdot 10^{9}\left(-4\cdot 10^{-9}+\dfrac{2\cdot 10^{-9}}{1{,}414}\right)$

$V_P=-23{,}3\ \text{V}$

$W_{\text{ext}}=10^{-9}\cdot(-23{,}3)$

$W_{\text{ext}}=-2{,}33\cdot 10^{-8}\ \text{J}$

El trabajo exterior es de $-2{,}33\cdot 10^{-8}\ \text{J}$, es decir, NEGATIVO. No hay que empujar la carga: el propio campo la atrae hacia P —domina la carga negativa— y lo que tiene que hacer el agente exterior es frenarla para que llegue con velocidad nula.