Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Las cargas $q_1=-4\cdot {10}^{-9}\text{ C}$ y $q_2=2\cdot {10}^{-9}\text{ C}$ están colocadas según se representa en la figura. Calcule:



a) El vector campo eléctrico total en el punto P.

b) El trabajo mínimo necesario para trasladar una carga $q_0=1\cdot {10}^{-9}\text{ C}$ desde el infinito hasta el punto P.

Dato: constante de Coulomb $k=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$

De la figura del enunciado se leen las posiciones: $q_1$ en el origen, $q_2$ sobre el eje X a 1 m y el punto P sobre el eje Y a 1 m. La distancia de $q_2$ a P es, por Pitágoras, $\sqrt{2}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P.}}$










El campo de $q_1$, que es NEGATIVA, apunta hacia ella, es decir, hacia abajo por el eje Y:

$E_1=k{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{1^2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 4\cdot {10}^{-9}}{1}}=36\text{ N/C}$

${\vec{E}}_1=-36\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$





El campo de $q_2$, que es POSITIVA, se aleja de ella siguiendo la diagonal, en la dirección $(-\frac{\sqrt{2}}{2},+\frac{\sqrt{2}}{2})$:

$E_2=k{\displaystyle \frac{q_2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 2\cdot {10}^{-9}}{2}}=9\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=9(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=(-\mathrm{6,36};+\mathrm{6,36})\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec{E}={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=(-\mathrm{6,36};-\mathrm{29,6})\text{ N/C}$

$E=\sqrt{{\mathrm{6,36}}^2+{\mathrm{29,6}}^2}=\mathrm{30,3}\text{ N/C}$

El campo total en P vale $\mathrm{30,3}\text{ N/C}$ y apunta hacia abajo y ligeramente a la izquierda: domina con mucho el campo de $q_1$, que es el doble de grande y está la mitad de lejos.



El trabajo mínimo que debe realizar un agente exterior es la variación de la energía potencial, llevando la carga sin energía cinética sobrante. Y como en el infinito el potencial es nulo:

$W_{\text{ext}}=q_0(V_P-V_{\mathrm{\infty }})=q_0{V}_P$

El potencial es un escalar, así que se suman los dos con su signo:

$V_P=k{\displaystyle \frac{q_1}{1}}+k{\displaystyle \frac{q_2}{\sqrt{2}}}=9\cdot {10}^9(-4\cdot {10}^{-9}+{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{1,414}}})$

$V_P=-\mathrm{23,3}\text{ V}$

$W_{\text{ext}}={10}^{-9}\cdot (-\mathrm{23,3})$

$W_{\text{ext}}=-\mathrm{2,33}\cdot {10}^{-8}\text{ J}$

El trabajo exterior es de $-\mathrm{2,33}\cdot {10}^{-8}\text{ J}$, es decir, NEGATIVO. No hay que empujar la carga: el propio campo la atrae hacia P —domina la carga negativa— y lo que tiene que hacer el agente exterior es frenarla para que llegue con velocidad nula.