Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Tres cargas puntuales están fijas sobre el eje $x$ según indica la figura. En un cierto instante, la carga situada en $x = +d$ y que tiene masa $m$, se deja libre.



a) Calcule la velocidad con la que alcanza el punto $x = +2d$.

b) Calcule el sentido y la magnitud de su aceleración cuando alcanza el punto $x = +2d$.

Dé las respuestas en función de $Q$, $m$, $d$ y $k$, siendo $k$ la constante de Coulomb.

De la figura del enunciado se leen las posiciones: $-Q$ en $x=-d$, $+Q$ en $x=0$ y $+Q$ en $x=+d$; esta última es la que se deja libre.

$\textbf{a) Calcule la velocidad con la que alcanza el punto } \boldsymbol{x = +2d}\textbf{.}$



La fuerza eléctrica es conservativa, de modo que se conserva la energía mecánica. Solo cambian las dos parejas en las que interviene la carga móvil; la pareja formada por las dos cargas fijas no se mueve y se cancela en la resta.

En la posición inicial, la carga móvil está a $2d$ de la negativa y a $d$ de la positiva del origen:

$E_p(d)=k\dfrac{(+Q)(-Q)}{2d}+k\dfrac{(+Q)(+Q)}{d}=\dfrac{k\,Q^{2}}{d}\left(-\dfrac12+1\right)=\dfrac{k\,Q^{2}}{2\,d}$

En $x=2d$, las distancias pasan a ser $3d$ y $2d$:

$E_p(2d)=\dfrac{k\,Q^{2}}{d}\left(-\dfrac13+\dfrac12\right)=\dfrac{k\,Q^{2}}{6\,d}$

Conservando la energía mecánica, con la carga partiendo del reposo:

$0+\dfrac{k\,Q^{2}}{2\,d}=\dfrac12\,m\,v^{2}+\dfrac{k\,Q^{2}}{6\,d}$

$\dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{k\,Q^{2}}{d}\left(\dfrac12-\dfrac16\right)=\dfrac{k\,Q^{2}}{3\,d}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\,k\,Q^{2}}{3\,m\,d}}=Q\sqrt{\dfrac{2\,k}{3\,m\,d}}$

La carga alcanza el punto $x=2d$ con una velocidad $v=Q\sqrt{\dfrac{2k}{3md}}$, es decir, aproximadamente $0{,}82\,Q\sqrt{k/(md)}$.

$\textbf{b) Calcule el sentido y la magnitud de su aceleración cuando alcanza el punto } \boldsymbol{x = +2d}\textbf{.}$

Ahora hay que sumar los campos, que son vectores. En $x=2d$:

i) La carga positiva del origen, a distancia $2d$, crea un campo que se ALEJA de ella, es decir, en el sentido $+x$:

$E_+=\dfrac{k\,Q}{4\,d^{2}}$

ii) La carga negativa de $x=-d$, a distancia $3d$, crea un campo que apunta HACIA ella, es decir, en el sentido $-x$:

$E_-=\dfrac{k\,Q}{9\,d^{2}}$

Por el principio de superposición:

$E=\dfrac{k\,Q}{d^{2}}\left(\dfrac14-\dfrac19\right)=\dfrac{5\,k\,Q}{36\,d^{2}}$

$a=\dfrac{Q\,E}{m}=\dfrac{5\,k\,Q^{2}}{36\,m\,d^{2}}\simeq 0{,}139\,\dfrac{k\,Q^{2}}{m\,d^{2}}$

La aceleración vale $\dfrac{5\,k\,Q^{2}}{36\,m\,d^{2}}$ y va en el sentido POSITIVO del eje X: gana la repulsión de la carga próxima sobre la atracción de la lejana, y la carga móvil sigue alejándose.