Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

El planeta Mercurio tiene una gravedad en su superficie de 0,376 veces la terrestre y su radio es 0,38 veces el radio terrestre.

a) Obtenga la masa de Mercurio.

b) Determine la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio.

Datos: radio de la Tierra $R_{T} = 6{,}4\cdot 10^{3}\ \text{km}$; constante de gravitación universal $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) Obtenga la masa de Mercurio.}$










Se calculan primero la gravedad y el radio de Mercurio a partir de los factores del enunciado, tomando la gravedad terrestre en su valor habitual, $g_T=9{,}8\ \text{m/s}^{2}$:

$g_M=0{,}376\cdot 9{,}8=3{,}68\ \text{m/s}^{2}$

$R_M=0{,}38\cdot 6{,}4\cdot 10^{6}=2{,}43\cdot 10^{6}\ \text{m}$





La gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio a la distancia del radio, y de ahí se despeja la masa:

$g_M=G\dfrac{M_M}{R_M^{2}}\Rightarrow M_M=\dfrac{g_M\,R_M^{2}}{G}$

$M_M=\dfrac{3{,}68\cdot\left(2{,}43\cdot 10^{6}\right)^{2}}{6{,}7\cdot 10^{-11}}$

$M_M=3{,}25\cdot 10^{23}\ \text{kg}$

La masa de Mercurio es de $3{,}25\cdot 10^{23}\ \text{kg}$, unas dieciocho veces menor que la de la Tierra.

$\textbf{b) Determine la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio.}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula en el caso límite. Conservando la energía mecánica:

$-G\dfrac{M_M\,m}{R_M}+\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^{2}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_M}{R_M}}$

Conviene escribirla con la gravedad, que ya se conoce, usando $G\,M_M=g_M\,R_M^{2}$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\,g_M\,R_M}=\sqrt{2\cdot 3{,}68\cdot 2{,}43\cdot 10^{6}}$

$v_{\text{esc}}=4{,}23\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape desde Mercurio es de $4{,}23\ \text{km/s}$, poco más de la tercera parte de la terrestre. Ahí está la razón de que Mercurio no haya podido retener atmósfera.