Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite de 500 kg se sitúa a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra en órbita circular. Determine:

a) ¿Cuánto ha variado la energía potencial gravitatoria del satélite respecto a la que tenía en la superficie de la Tierra?

b) ¿Cuál sería la energía mecánica en esa órbita?

Datos: radio de la Tierra $R_{T} = 6{,}4\cdot 10^{3}\ \text{km}$; masa de la Tierra $M_{T} = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de la gravitación universal $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) ¿Cuánto ha variado la energía potencial gravitatoria del satélite respecto a la que tenía en la superficie de la Tierra?}$










El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6{,}4\cdot 10^{6}+1{,}2\cdot 10^{6}=7{,}6\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La energía potencial gravitatoria de una masa a distancia $r$ del centro es:

$E_p=-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}$





La variación es la diferencia entre los dos valores:

$\Delta E_p=-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}+\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}=G\,M_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{r}\right)$

$\Delta E_p=6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 500\left(\dfrac{1}{6{,}4\cdot 10^{6}}-\dfrac{1}{7{,}6\cdot 10^{6}}\right)$

$\Delta E_p=4{,}96\cdot 10^{9}\ \text{J}$

La energía potencial ha AUMENTADO en $4{,}96\cdot 10^{9}\ \text{J}$. Sigue siendo negativa en los dos puntos, pero menos negativa arriba: subir cuesta energía.

$\textbf{b) ¿Cuál sería la energía mecánica en esa órbita?}$

Para una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y de ahí sale la energía cinética:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}\Rightarrow \dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

Sumando la potencial:

$E=\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

$E=-\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 500}{2\cdot 7{,}6\cdot 10^{6}}$

$E=-1{,}32\cdot 10^{10}\ \text{J}$

La energía mecánica en la órbita es de $-1{,}32\cdot 10^{10}\ \text{J}$. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado a la Tierra, y su valor absoluto es la energía que habría que aportarle para mandarlo al infinito.